博弈论的概念范文

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篇1

关键词：进化稳定策略；渐近稳定性；严格N群体ESS；随机稳定集；群体稳定集

引言

进化博弈理论来自于达尔文的生物进化论，至少自雷威丁(Lewontin 1960）用于解释生态现象 ②就已经产生了。但直到1973年梅纳德·史密斯和普莱斯（Maynard Smith and Price）、梅纳德·史密斯（1974）提出了该理论的基本均衡概念----进化稳定策略[3]（evolutionary stable strategy, ESS）及泰勒和乔克（Taylor and Jonker）提出该理论的基本动态概念---模拟者动态以后，进化博弈理论得到了理论界的普遍关注。特别是1992年关于进化博弈理论发展的国际学术会议在康奈尔大学的召开，正式确定了进化博弈理论在经济学上的学术地位，此后，该理论在经济学便上获得了迅速的发展及广泛的应用。越来越多的经济学家运用进化博弈理论来分析诸如社会制度变迁[阿克赛尔罗德和米尔顿(Axelrod and Hamilton 1981)；阿克赛尔罗德（1984)]、行业发展趋势[波特Porter 1980)]、股市发展方向［康利斯克（Conlisk 1980）；利奈尔和罗尔（Cornell and Roll 1981)］、消费者对品牌的选择[凯思和史培罗（Katz and Shapiro 1985）]、社会学习过程[弗登博格（Fudenberg 1995）]及社会习俗形成[彼特·杨，（H. Peyton Young 1993，1998）等领域的相关问题。进化稳定策略是进化博弈理论最基本的均衡概念，它具有广泛的应用并在发展中得到了不断完善。本文以进化稳定策略概念的发展为主线来介绍博弈论理论家们对它在不同条件下的拓展。

一、原初ESS定义及其缺陷

在梅纳德·史密斯和普莱斯(1973）；梅纳德·史密斯(1974）提出进化稳定策略概念以前，进化博弈理论的发展还仅仅处于萌芽阶段。在这一时期生态学家们主要应用纯数学理论如极限环、分岔、奇异吸引子（罗森，Rosen 1970）等概念来描述生态演化系统并用于解释生态现象，同时把生物之间的互动行为纳入到进化模型之中(威尔·艾德瓦兹，Wynne-Edwards 1962)，他们处理问题的方法已经蕴含了进化博弈理论的基本思想。

在七十年代，生态学理论和博弈理论在各自领域中都获得了迅速的发展，同时实验经济学作为一门学科也获得了经济学界的一致认同，这些条件为进化论与博弈论的结合提供了理论和现实基础。生态学家梅纳德·史密斯和普莱斯(1973）在总结以前理论的基础上，提出进化博弈理论的基本均衡概念----进化稳定策略③ ，该均衡概念的提出使得进化博弈理论的研究有了明确的方向，为进化博弈理论的进一步发展奠定了坚实的基础。

所谓进化稳定策略就是指：如果占群体绝大多数的个体选择进化稳定策略，那么小的突变者群体就不可能侵入到这个群体。或者说，在自然选择压力下，突变者要么改变策略而选择进化稳定策略，要么退出系统而在进化过程中消失。下面我们给出梅纳德·史密斯和普莱斯(1973）所定义的进化稳定策略（文献[3]对此有详细的介绍）：

说是进化稳定策略，如果，存在一个④，不等式对任意都成立。其中A是群体中个体博弈时的支付矩阵；y表示突变策略；是一个与突变策略y有关的常数，称之为侵入界限（Invasion Barriers）；表示选择进化稳定策略群体与选择突变策略群体所组成的混合群体。从定义可以看出，当系统处于进化稳定状态时（群体选择进化稳定策略时所处的状态就是进化稳定状态），除非有来自外部强大的冲击，否则系统就不会偏离进化稳定状态，即系统会“锁定”（Lock in）于该状态。定义的直观意思就是，当一个系统处于进化稳定均衡的吸引域范围之内时，它就能够抵抗来自外部的小冲击。显然，进化稳定策略是一个静态概念，但它却可以描述出系统的局部即吸引域内的动态性质。

原初进化稳定策略定义为以后的研究者提供了理论基础，但它是建立在许多理想化的假定之上，存在着许多不够完善的地方：第一，梅纳德·史密斯等是在研究生态现象时提出的进化稳定策略概念的，由于动植物的行为完全是由其基因决定的。因而，每个种群体都被程式化为一个纯策略，整个生态环境的所有种群也被看作一个大群体。然而，同一种群的个体由于其性别不同、需要不同、能力不同、基因突变或基因遗传⑤ 等因素都会影响到它们的行为，把每一个种群行为程式化一个纯策略是没有太强说服力的，把一个生态环境中所有种群看作一个大群体也存在不妥之处；第二，从梅纳德·史密斯等提出的进化稳定策略定义可以看出，它仅适应于互不重叠且相互独立的突变因素的影响，其吸引域半径只与单个突变因素y有关，也就是说只有等到一个突变因素对群体的影响消失之后，才能出现另一个突变因素，现实中出现这种现象是非常偶然的；第三，梅纳德·史密斯等为了技术上处理的方便及更好地利用数学工具和博弈论来描述生态演化过程而假定群体规模无限大 ⑥，即隐含地假定博弈的支付⑦ 空间是一个连通、闭集，这个假定不符合现实；第四，从原初的进化稳定策略定义可以看出，它是一个静态概念，只能描述系统的局部动态性质，没有涉及到动态系统整体的调整过程，而现实中许多系统的均衡依赖于系统的整体动态性质。

从生态意义上说，进化稳定策略把种群之间的互动行为纳入到模型之中，推广了达尔文的优胜劣汰理论，然而与纳什均衡概念相比，进化稳定策略并不能解释群体如何达到稳定的。它只能回答一旦达到了这种稳定状态，原群体就对突变者群体者具有较强的抵抗力。也就是说，它只能回答当系统处于某一个均衡点的吸引域时，在一定条件下，随着时间的演化,该系统就会趋于这个均衡点，而当系统有多重均衡或者多个吸引域时，原初的定义就显得无能为力了。事实上梅纳德·史密斯和帕克（Maynard Smith and Parker 1976）、梅纳德·史密斯（1978；1979）已经识到原初定义的某些缺陷，梅纳德·史密斯（1982）给予了一定程度的修进并提出了修进的ESS（Modified ESS）概念。下面我们从四个方面来介绍理论家对进化稳定均衡所作的拓展。

二、非对称群体中的ESS概念

梅纳德·史密斯早在1979年就已经意识到，原初的进化稳定策略在处理多群体非对称博弈时遇到了困难。他发现，在现实中，如生态学、经济学和其他社会科学中的许多策略互动行为可能发生于两个或多个群体的个体之间，个体之间进行的是非对称博弈，单用原初定义不能很好解释现实中的这些现象。如何把静态的单群体进化稳定标准拓展到多群体情形呢？在单群体中，所有的个体都被程式化了一个纯策略（梅纳德·史密斯假定只有纯策略是可以遗传的），个体之间进行的是两两重复匿名博弈；并且在单群体中，规模很少的突变因素对群体所产生的影响是可以忽略的，因此，非严格纳什均衡策略不可能侵入到最优反应的严格纳什均衡策略群体。在多群体中，突变因素可能来自于各个群体，突变策略者的互动行为会对群体行为产生不可忽略的影响。因此，原初的进化稳定标准仅仅限于严格纳什均衡之间的选择就不能运用于解释多群体情形。Selten(1980)认为，把均衡概念由单群体拓展到多群体不是一个简单的过渡，而是涉及到系统的动态调整过程及动态稳定性等一系列的变化。哈曼斯顿（Hammerstein 1981）认为，在非对称博弈中，个体更加倾向于应用稳定策略来选择行为并决定竞争结果，而这些稳定策略与进化稳定策略相比，可能会有更少的“吸引域”。因此，由进化稳定策略定义所得的结论就显得有点似是而非了，但他没有作出进一步解释。

泽尔腾(Selten (1980))首次深入地研究了非对称博弈动态稳定性并利用两群体博弈情形证明 “在非对称博弈原初进化稳定策略必定是严格纳什均衡”。后来，Van Damme（1987）在更一般的情形下证明了这个命题⑧ 。我们知道，严格纳什均衡本来就显示出很好的性质，如果一个理论把其主要的注意力集中于研究严格纳什均衡，那么它就没有任何理论价值；更重要的是许多非对称博弈根本就不存在严格纳什均衡，因而也就无法研究动态系统的稳定性；在非对称博弈中，渐近稳定性（Asymptotic Stability）实质上也蕴含了严格纳什均衡，因此，渐近稳定性在非对称博弈中也不是一个合适概念；进化稳定策略是一个静态概念，虽然能够描述系统的局部动态性质，但在非对称博弈中，原初的进化稳定均衡与动态演化过程极限结果之间的对应关系却不明显（即出现了局部与全局的矛盾）。因此，要研究非对称博弈的动态稳定性就必须通过考察系统的动态演化过程来寻求能够适应于对称博弈与非对称博弈的稳定性概念。为了能够更精确地描述非对称博弈，泽尔腾（1983,1988）通过对引入角色限制行为（Role Conditioned Behavior）而提出了适应于非对称博弈的ESS概念。

他的定义如下：在有角色限制的博弈G中，一个行为策略称为进化稳定策略，

如果 （ⅰ）对任意的，满足

（ⅱ）如果那么对任意的有。

然而，泽尔滕的ESS概念尽管适应于描述两群体非对称博弈的情形，但它只能描述系统的局部动态性质，而且该定义并不能够显示出均衡概念与动态演化过程极限结果之间的关系。因此，要更好地描述非对称博弈均衡，就必须正确处理好均衡概念与动态演化过程均衡结果之间的关系。于是，弗里德曼（Friedman 1991）考察了非对称博弈的更一般的单调调整过程并得出了四个基本结论：（1）每一个纳什均衡都是动态系统的静止点（rest point）⑨ ；（2）渐近稳定结果必定是纳什均衡；（3）在对称和非对称博弈中，对所有单调调整过程而言ESS不一定是渐近稳定的；（4）对某些单调调整过程而言，正规ESS是渐近稳定的。在此基础上，他得出了“渐近稳定结果必定是纳什均衡”结论。莱瑞·萨谬尔森和张建波（Larry Samuelson and Jianbo Zhang 1992）在弗里德曼（1991）的基础上进一步考察了非对称博弈的累积单调选择动态（Aggregate Monotonic Selection Dynamic）并得出：在非对称博弈中，单调调整过程能够剔除所有严格劣的纯策略,并且能够确保均衡结果必定是纳什均衡。同时，他们证明了“稳定点必定是纳什均衡”及“渐近稳定结果必定是严格纳什均衡”，进而强化了弗里德曼（1991）的“渐近稳定结果必定是纳什均衡”的结论。

Swinkels(1992)认为，进化稳定标准不对突变策略组合给予适当限制是说不过去的。特别地，在处理某些经济问题时，突变策略可能来自于参与人或者企业的创新、试验等活动，这些突变策略组合本身可能会影响系统的稳定性。因此，考察相对于后进入突变群体最优反应策略组合的稳定性可能会更合理，并且这些稳定性概念很容易由单群体情形推广到多群体N-人非对称博弈。于是他定义了适应于非对称博弈的策略稳健性概念。

定义：称之为相对于均衡进入者的稳健策略（Robust against Equilibrium Entrants REE），如果存在对所有的策略组合及满足：。其中表示突变策略；表示选择突变策略者在群体中所占的比例；表示混合群体；表示突变策略相对于策略x的最优反应策略，他并且证明了REE是ESS的一个子集。然后，他又把REE概念推广到了N-人非对称博弈的情形而提出了均衡进化稳定（Equilibrium Evolutionarily Stable EES）概念：

定义：称集合是均衡进化稳定的（EES），如果它是相对于下面性质的最小集： X是纳什均衡策略集合一个非空闭子集，存在，如果及，那么。

换句话说，EES集是纳什均衡策略集的最小闭集，它能够保证任何小规模的均衡进入突变者不可能使得群体离开进化稳定均衡的吸引域。

三、有限群体上的ESS概念

梅纳德·史密斯等提出的ESS概念另一个缺陷就是，他们为了在技术上处理的方便而认为群体规模无限大，这个假定与现实尤其应用于解决经济问题时并不相符。为了使理论与现实更接近，许多博弈论理论家对有限群体的均衡问题进行了深入的研究。沙弗尔（Schaffer 1988)首次放开群体规模无限大的假定，考察了有限规模群体的进化稳定性并提出了有限群体ESS（Finite Population Ess）概念。他证明“在一般情况下，有限群体ESS并不是纳什均衡策略”。汉森和萨谬尔森（Hansen and Samuelson 1988）分析了经济博弈的演化过程，并把有限群体ESS称之为“普遍生存策略”（universal survival strategy）。他们认为，在现实世界竞争中，未来的利润和可供选择的策略具有不确定性，这就会阻碍企业选择最优化策略，企业必须通过不断的试验、学习过程来寻求有利可图的满意策略 ⑩（不一定是最优策略）。沙弗尔(1989)应用“普遍生存策略”来研究寡头企业之间的竞争并得出结论：通过经济自然选择过程 ⑾而得以生存下来的策略是相对的而不是绝对的利润最大化策略。泰尼克（Tanaka 2000）利用模拟者动态，考察了差别产品对称寡头企业竞争的情形并定义了“全局生存策略”（Globally Surviving Strategy GSS）。他得出结论的是：在价格与数量竞争的寡头模型中，GSS都是随机稳定的并且在两种情况下它们是等价的。

以上所得到的均衡概念基本上是适应于单群体有限个体情形，并不适应于有限个体多群体博弈。哈佛保尔和西格蒙德（Hofbauer and Sigmund 1988）证明了“两群体对称博弈中不存在混合策略ESS”。泽尔腾(1988)在考察了大量的两人对称博弈的基础上也得出了类似的结论。克瑞斯曼（Cressman 1992）定义了有限两群体非对称博弈的进化稳定策略，1996年对他所定义的概念作了进一步说明。他认为，在模拟者动态下，至少一个群体的突变者所得到的平均支付少于选择稳定策略者所获得的支付，才能保证静止点的渐近稳定性。Garay and Varga(2000)认为，定义有限数目多群体的均衡概念应该满足如下三点：其一是突变者不能侵入他自己的群体；其二是现有群体对来自外部的随机冲击具有较强的抵抗力；其三是多群体ESS定义应该与非对称博弈理论的基本结论一致。众所周知，纯策略模拟者动态的渐近稳定集并不一定是ESS。那么，哪一种动态稳定概念等价于ESS呢？克瑞斯曼(1990)指出，在单群体条件下强稳定性等价于ESS，那么多群体的ESS定义也应该满足多群体稳定性概念等价于多群体ESS。根据这个标准，Garay and Varga(2000)定义了严格N群体ESS概念。其定义如下：

定义：策略组合 称之为N-群体进化稳定策略，如果对每一个，存在，对所有的都有：

框架。

四、随机因素影响下ESS概念

梅纳德·史密斯等提出的ESS概念第三个缺陷是要求突变因素是不连续且不重叠的。原初ESS定义由于仅仅考虑单个因素对系统的影响，所以任何偏离均衡状态的行为都会随着时间的演化自动回复到原来的进化稳定状态。帕克和菲尔德曼（Peck and Feldman 1988）认为，由于群体规模和后代数目很大，因而随机因素对动态系统的影响是可以忽略不计的。现实并不是这样，经济演化系统常常会受到来自突变和其他偶然事件的冲击，这些因素可能会对系统产生不可忽略的影响。福斯特和杨（Foster and Young 1990)认为，首先，ESS概念把影响系统的因素都看成是一个个孤立的事件，而在现实中系统常常会受到连续的随机冲击。如果假定有一个因素的影响消失以后，再考虑另一个因素对系统的影响，那么，系统当然就不会远离原来的均衡状态；其次，现实中出现上述情况纯属偶然现象，一个只能处理偶然现象的理论是没有任何存在价值。现实中，尽管单个随机因素对动态系统的影响较少，但它们却可能对系统产生累积作用而定量地改变系统的稳定性，使得系统离开进化稳定状态，系统什么时候回复到当初的进化稳定状态，依赖于动态过程的全局结构，而ESS定义是一个局部概念，因此在考虑随机冲击时就不能作为判断系统稳定性的标准；再次，由于系统的极限行为依赖于初始条件，同时在吸引子集合中只有一部分状态是随机稳定的，且随机稳定状态的选择还依赖于随机过程特定的结构，因此，ESS和一般意义上的吸引子（Attractors）由于没有充分地考虑到随机因素对进化系统的影响，在描述随机系统的稳定性时也很不理想。于是，他们首次把影响系统的随机因素纳入到进化模型之中并提出了一个既不同于传统ESS也不同于吸引子（Attractor）概念的随机稳定性（Stochastic Stability）概念。他们的定义如下：

定义：群体向量是随机稳定的，如果随着随机影响，极限密度对的每一个小邻域都赋有正概率；更精确地说，其中。其中是当时，的极限分布，表示随机因素对系统所产生的影响。

粗略地说，一个状态P是一个随机稳定的，如果在长期中，随着随机冲击因素影响的不断变少，系统几乎一定（nearly certain）不会离开P的任意少的邻域。随机稳定的群体向量总是存在的，它有如下性质：随着及，它是一个最小闭集。接着，他们又提出了更一般的概念----随机稳定集（Stochastic Stable Set）。随机稳定集 是一个满足如下条件的状态集合，即从长期来看，随着随机冲击的不断变少，系统几乎一定处于包含于S的任何一个开邻域中。随机稳定集概念的提出把传统确定性动态模型中的ESS拓展到随机性动态系统中，并且它是一个比进化稳定策略集更精练的概念，是进化稳定集的子集。随机稳定集已经成为描述随机动态系统的基本均衡概念。

五、ESS与动态的结合

从ESS的定义可以看出，它只能描述系统的局部动态性质而与系统的全局动态过程无关，然而，要更准确地描述一个系统的动态性质就必须对仔细考察整个系统的动态调整过程。泰勒和乔克(Taylor and Jonker 1978）首次把传统的ESS定义用模拟者动态模型表示出来，他们证明在一个多群体的模型中，进化稳定策略是渐近稳定的充分但非必要条件。但他们没有作出进一步的研究。鉴于此，吉尔博和马特休(Gilboa and Matsui （1991）)在考察群体行动态调整过程的基础上，提出了“循环稳定集”（Cyclically Stable Set）又一均衡概念。“循环稳定集”直接来源于群体行为的调整过程，其基本思想是“可接近性”（Accessibility）。一个策略分布f称为可以从另一个策略分布g接近是指，如果存在一条从f到g的道路，且在该道路方向上任何一点都是相对于该点的最优反应。“循环稳定集”是指在满足“可接近性”条件下是封闭的策略分布集合（在该集合中任何两个分布之间都是接近的）。与一般均衡理论不同，仅当参与人按照均衡策略而作出选择时才有效，CSS并不要求群体保持这种决策状态。CSS的直观意义是，在一个很短的时间间隔内，只有少部分人离开或者死亡并且由一些新来的人（新生的孩子）代替，这些新来者从他们的母体那里继承一些行为模式，并且在现行预期（也就是说他们并不关心行为模式未来的变化）条件下作出最优的反应，一旦新来者选择了某一行动，他就会一直坚持下去（转换成本的存在是他坚持这个行动的一个重要原因）。马特休（Matsui 1992）给出了一个“稳定”策略的静态表述，在存在对原群体中各策略的初始分布冲击的情况下该策略能够保持这种分布。斯温克斯（1992）在马特休的基础上提出了“群体稳定策略”（Socially Stable Strategy SSS）。相对于均衡的进入者而言，所谓“群体稳定策略”是指如果存在一个突变群体（或者进入者群体，譬如说群体A），其支付高于原群体的支付，那么必定存在另外一个群体（如群体B），在这个包含大部分原群体个体而有一少部分群体A的个体的群体中，群体B将获得高于群体A的支付。这个概念也称为“稳健策略组合”。当然在某些情况下，“群体稳定策略”可能并不存在，但不是这个概念本身的缺点，出现这种情况与我们所研究的动态过程本身是分不开的。然而，我们可能会问，实际的行为模式又是怎么样呢？如果这个过程并不是稳定状态，那么稳定状态又是什么呢？在对这个问题作出回答时，马特休利用了吉尔博和马特休（1991）所提出的集值解的概念（Set-valued Solution），同时他也证明了循环稳定集的存在性。Binmore and Samuelson(1993)把参与人的学习过程纳入到了进化模型中并提出了自我强化均衡[10]（Self-confirming Equilibrium）。他们认为，每个参与人都会通过自己的经验来推断对手可能选择的策略而作出最优反应，这个学习过程可能使得系统在不同自我强化均衡的吸引域之间漂移而不会停留在某一个均衡，由于在非均衡路径上的推断不一定正确，所以自我强化均衡可能不一定是纳什均衡。

结束语

进化博弈理论从发展到现在虽然只有二十几年的历史，但它却受到社会学、经济学、生态学们的普遍关注。特别是该理论的基本均衡概念----进化稳定均衡提出以后，理论界已经从不同的方面对它进行了拓展，并取得了令人瞩目的成果，使进化博弈理论体系得到了在发展中不断完善。进化博弈理论具有较强的实用性和广阔的发展前景 ⑿，相信它会引起更多经济学家的兴趣，必将成为主流经济学的一部分。

注释： ①张良桥：中山大学岭南学院经济学系数量经济学硕士研究生，广东省顺德职业技术学院经济管理系教师（邮政编码：528300；联系电话：0765-2338029；13825507060，值此文发表之际谨向他们致以深深的谢意，同时要感谢经济管理系的仇颖老师对此文中英文名字进行了认真的翻译。 ②生物学家在研究生态现象时发现，利用纳什均衡可以很好地解释生物进化结果。然而，生物是没有思维的更谈不上理性要求了，它们的行为却可以趋于纳什均衡，因此，理性要求并不是纳什均衡的必要条件。这样，生物进化论与博弈论的结合便成为可能，为进化博弈理论的产生奠定了基础。进化博弈理论以群体（Population）为研究对象，主要处理群体中近视且幼稚的(Navie)个体进行重复、匿名博弈的动态调整过程。其基本思想为：给定群体所处的状态，随着时间的演化更合适的策略会被更多参与者采用，其目的是为预测群体最终行为提供一个理论依据。 ③此后本文称之为原初定义 ④实际上相当于吸引域的半径，也就说进化稳定策略考察的是系统落于该均衡的吸引域范围之内的动态性质，而落于吸引域范围之外是不考虑的，所以说它只能够描述系统的局部动态性质。 ⑤如长颈鹿进化的过程。 ⑥对群体模型为无限大的要求有两个原因：其一是机械式的，为了假想的“侵入界限”（Invasion Barriers）也就是突变者群体在大群体中所占的份额（Population Share），当突变群体模型超过1/n时，n是大群体的个体数，突变群体就有可能侵入到大群体，进化稳定策略的条件就有不满足了。其二是技术上的，群体模型足够大，就可以忽略掉现行群体个体的行为对其他突变者群体未来行为的影响，即不考虑学习过程。 ⑦其中的支付是生态学上的适应度（Fitness）或繁殖成活率。 ⑧下面我给出Van Damme1987的证明：首先设是进化稳定的，并且令所有参与人都选择不变的策略。令，对所有的。令，其中，那么对所有，满足及，因此，由进化稳定性可知。所以，而是任意的，所以。其次，设是一个严格纳什均衡策略，并且，那么至少存在一个满足，由的连续性可知，至少存在一个，对所有及，至少存在一个 满足：，这就说明 是进化稳定的。 ⑨静止点（Rest Point）就是当动态系统处于静止点时就不会离开该点。 ⑩Alchian(1950)指出，企业必须通过对所观察到的市场参与者的行动与结果之间的比较来得知什么是好的策略什么是不好的策略。 ⑾他考察了如下的选择过程，每一个企业所能够选择的策略不随环境的变化而变化。在每一个阶段结束时，如果企业1的利润大于企业2的利润，那么企业1在下一阶段生存下来的概率就大于企业2在下一阶段生存下来的概率。相应地可以把企业的生存规则看作为策略的幸存，成功策略在群体中所占的比例通过企业之间对策略的模仿而得以增长 ⑿杨小凯教授（1995）认为，博弈理论当前最有趣的研究成果及日后有可能获得诺贝尔奖的工作就是信息不对称的动态博弈模型，以及对策游戏规则演化模型（也就是进化博弈模型）。事实上1996年及2001年的诺奖都属于研究信息经济学的经济学家，这说明杨教授具有超前的预见性，进化博弈理论研究者虽然还没有获得诺贝尔经济学奖，但也可以说明杨教授非常看重对进化博弈理论的研究。

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篇2

1、博弈理论的早期研究。一般认为，对于博弈理论的最早研究可以追溯到18世纪初。瓦德格拉夫（Waldegrave）在1713年提出了两人博弈的极小化极大混合策略解。古诺（Cournot）和伯特兰德(Bertrand)分别在1838年和1883年提出了博弈论最经典的模型，两位学者分别从产量决策和价格决策分析垄断的双寡头竞争模型，确定了在竞争之下各自的最优反映函数。这些都是关于博弈问题的早期的零星研究。

2、博弈论发展的不同阶段。一般认为博弈论萌芽于20世纪20年代初。博弈论创立的标志是冯・诺伊曼和奥・摩根斯坦（Morgenstern）在1944年的《博弈论与经济行为》这部著作，他们的贡献现在看来主要是创立了博弈论研究的基本概念、二人零和博弈的完全解决和对合作博弈的贡献。现在应用更为普遍的非合作博弈理论的创立，则是以纳什（John Nash）1950年的博士论文《非合作博弈》为标志，该文的主要贡献是提出了纳什均衡的概念。此后(20世纪70年代)，美国海萨尼（Harsanyi）和德国塞尔顿（Selten）的不完全信息博弈理论工作进一步完善了非合作博弈理论。当20世纪70年代经济学家开始将注意力由价格制度转向非价格制度时，博弈论逐渐成为经济学的基石。

1944年，冯・诺伊曼（Von Neumann）和奥・摩根斯坦（Morgenstern）合著的《博弈论与经济行为》被认为是博弈理论初步形成的标志。该书在总结以往关于博弈的研究成果的基础上，提出了博弈论的概念术语、一般框架和表述方法，提出了较系统的博弈理论。而且，在该书以前，博弈论主要是数学家们研究的课题，主要是一种数学理论而不是经济学理论。《博弈论与经济行为》极大地促进了博弈论和经济学研究的联系。从此，博弈论开始被经济学家们所接受，对博弈论的发展起了巨大的推动作用。虽然《博弈论与经济行为》的出版标志着博弈论的初步形成，但是这个时候的博弈论还是比较幼稚的，研究的范围也较小，总体影响也很小。研究的主要对象是少数类型的合作博弈和零和博弈。

20世纪的40年代末到50年代初，是博弈论的发展史上一个重要阶段。越来越多的学者进行了博弈理论的研究。1950年，纳什（John Nash）在他的博士论文《非合作博弈》中，将博弈论扩展到了非零和博弈，最终形成了非合作博弈理论的思想源泉，纳什均衡概念的提出以及纳什均衡存在性的纳什定理的证明，发展了以纳什均衡概念为核心的非合作博弈理论。纳什均衡是对古诺模型和伯特兰德模型中均衡概念的一般化，纳什均衡的概念是有关均衡概念的最基本的概念，后来的子博弈精炼纳什均衡，贝叶斯纳什均衡、精炼贝叶斯纳什均衡等概念的提出都是以纳什均衡为研究出发点的。

20世纪50年代中后期一直到70年代也是博弈论发展历史上较为重要的一个时期。“微分均衡”、“强均衡”、“重复博弈”以及在此基础上的完全信息动态博弈等概念就是在这一时期提出来的，而且在60年代初开始了博弈论在进化生物学中的应用的研究。这个时期产生的里程碑式的成果是海萨尼（Harsanyi）关于不完全信息博弈理论，他在1967-1968年的三篇关于不完全信息博弈理论的论文中，提出了关于不完全信息静态博弈的“贝叶斯纳什均衡”的概念，此外还在1973年提出了关于“混合策略”的不完全信息解释，以及关于不完全信息动态博弈的严格“纳什均衡”概念。同时这个时期也是进化博弈论发展的重要阶段，提出了“进化稳定策略”等概念。当然，这个时期产生的博弈论成果还有很多，博弈论更多地应用到经济学理论的研究当中，为80-90年代博弈论的成熟以及经济学理论的博弈论革命起了很大的推动作用。

20世纪80-90年代到现在是博弈论走向成熟的时期，期间产生了大量的研究成果和文献,表明博弈论已经作为一种一般的分析方法逐渐走进了政治学、军事学、生物学、统计学等多门学科中。尤其是在经济学中，博弈论占据了核心地位。这个时期，是对非合作博弈理论的进一步深化，产生了博弈论基础上的经济学分支，如信息经济学，以及一些关于特殊问题的理论，如拍卖理论、激励理论。早在1983年，因一般均衡理论而得到诺贝尔经济学奖的德布鲁(J・Debreu)表明，如果没有博弈论中纳什均衡的重要概念，也就没有他对一般均衡的存在性的证明。到了90年代，克莱普斯(D・Kreps)、克鲁格曼(P・Krugman)和格罗斯曼(S・Grossman)都是因为在博弈论上的贡献而获得了美国的克拉克奖(Clark Prize)，这是美国对40岁以下经济学家的最高奖。之后，博弈论两度夺得诺贝尔经济学奖，1994年颁给纳什(Nash)、海萨尼(John Harsanyi)和塞尔顿(Reinhard Selten)三位博弈论专家；2005年颁给罗伯特・奥曼(Robert J・Aumann)和托马斯・谢林(Thomas C・Schelling )。

二、博弈的类型及其均衡概念

博弈理论有合作博弈和非合作博弈之分。合作博弈强调团体理性，强调效率、公平和公正，非合作博弈更强调个体理性、个体的最优决策。按照参与人行动的先后顺序，博弈可以分为静态博弈和动态博弈。完全信息博弈是指每个参与者对所有其他参与者的特征、策略空间和支付函数有准确的知识；否则，就是不完全信息博弈。下图是基于上述分类方法的博弈类型以及各自的均衡概念。

三、博弈论的研究趋势及未来

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一、引言

博弈论（张维迎，1996）是研究决策主体的行为发生直接相互作用时候的决策以及这种决策的均衡问题，博弈论故此又称对策论。

谢识予教授认为，博弈即一些个人、对组织或者其他组织，面对一定的环境条件，在一定的规则下，同时或者先后，一次或多次，从各自允许选择的行为和策略中进行选择并加以实施，各自取得相应结果的过程。

二、博弈论的发展

一般认为，博弈论始于1944年冯·诺依曼和摩根斯坦恩合作的《博弈论和经济行为》一书的出版，这是第一次系统的将博弈论引入经济学。

到20世纪50年代，合作博弈发展到鼎盛期，同时非合作博弈也开始创立。纳什和夏普里分别于1950年和1953年提出的“讨价还价”模型，吉利斯和夏普里与1953年提出的关于合作博弈中“核”的概念以及其他一些人的贡献。纳什在1950年和1951年发表了两篇关于非合作博弈的重要文章，塔克于1950年定义了“囚徒困境”。他们两个人的著作基本上奠定了现代非合作博弈论的基石。

到20世纪60年代，泽尔腾第一次纳什均衡的概念引入了动态分析，提出了纳什均衡的第一个重要改进概念“子博弈精炼纳什均衡”和相应的求解方法“逆向归纳法”。海萨尼首次把不完全信息引入博弈分析，定义了“不完全信息静态博弈”的基本均衡概念“贝叶斯-纳什均衡”，构建了不完全信息静态博弈的基本理论。之后，不完全信息动态博弈得到迅速发展，弗得伯格和泰勒尔定义了它的基本均衡概念“精炼贝叶斯-纳什均衡”。20世纪70年代以后，博弈论形成了一个完整的体系，到20世纪80年代出现了几个比较有影响的人物，包括克瑞普斯和威尔逊，他们在1982年合作发表了关于动态不完全信息博弈的重要文章，博弈论逐渐成为主流经济学的一部分，甚至可以说成为微观经济学的基础。

三、博弈论核心理论

博弈论的基本概念包括：参与人、行动、信息、战略、支付函数、结果、均衡。博弈的划分可以从两个角度进行。一是参与人行动的先后顺序，分为静态博弈和动态博弈。二是参与人对有关其他参与人（对手）的特征、战略空间及支付函数的知识，分为完全信息博弈和不完全信息博弈。结合两个角度，我们得到四种不同类型的博弈：完全信息静态博弈、完全信息动态博弈、不完全信息静态博弈、不完全信息动态博弈。与上述四种博弈相对应的是四个均衡概念，即纳什均衡、子博弈精炼纳什均衡、贝叶斯纳什均衡、精炼贝叶斯纳什均衡。

第一，完全信息静态博弈——纳什均衡：纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种战略组合由所有参与人的最优战略组成，给定别人战略的情况下，没有任何单个参与人有积极性选择其他策略，从而没有任何人有积极性打破这种均衡。

第二，完全信息动态博弈——子博弈精炼纳什均衡：泽尔腾于1965年通过对动态博弈的分析完善了纳什均衡的概念，定义了“子博弈精炼纳什均衡”，将纳什均衡中包含的不可置信的威胁战略剔除出去，要求参与人的决策在任何时点上都是最优的，决策者要“随机应变”，“向前看”，而不是固守旧略。

第三，不完全信息静态博弈——贝叶斯纳什均衡：海萨尼构建了不完全信息博弈的基本理论，提出了不完全信息静态博弈的基本均衡概念——贝叶斯纳什均衡，使得不完全信息静态博弈的分析可以在已经讨论过的完全信息动态博弈的分析框架下进行，而在海萨尼转换提出之前，人们是无法对不完全信息博弈进行分析的。

第四，不完全信息动态博弈——精炼贝叶斯纳什均衡：弗得伯格和泰勒尔定义了不完全信息动态博弈的基本均衡概念——精炼贝叶斯纳什均衡。不完全信息动态博弈是指在博弈中至少有一个局中人不知道其他局中人的支付函数；局中人的行动有先后之分，后行动者能观察到先行动者的行动。不完全信息动态博弈分析也是在豪尔绍尼转换的框架下进行的。

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人生本来就是一场博弈，小到下象棋、养小孩，大到创事业、搞经营，再大到选总统、试军备，几乎无所不包博弈，决策的思想。与此同时，它不像一个伐木工人去砍树，面对的是没有想法和行动的树木，在多数对垒局势里，我们身边围绕着的是积极思考和同样工于心计的人，他们的选择与我们的选择彼此影响、相互作用，甚至互相牵制。正如作弊的考生要时刻面对来回走动、严肃监考的老师，做题跟猜谜一样的学生总要换位思考、寻思出题者的习惯，这些都是博弈。

对此，此书作者提到“当将军试图消灭敌军时，他必须料及并克服阻止其意图的反抗力量。如同将军一样，你必须意识到你的生意对手、潜在配偶，乃至你的子女都是富有谋略的。他们的目标与你的目标既可以相互冲突，也可以完全一致。你的决策必须并充分利用合作。”

所以，在这个意义上，我们多少需要懂点博弈论。要知道，它可不是什么小把戏，也不是厚黑学，

看完《妙趣横生博弈论》之后，应该对博弈论持有这样的看法：它应该是展开有效竞争与合作的理论，应该是大智慧，应该是个人理性融入社会的艺术。对于那些试图探求真实世界现象之因缘的人们来说，博弈论也是理解高度互动的人类社会的一种思想方法和分析工具。

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博弈论的研究开始于本世纪，1944年诺依曼和摩根斯坦合著的《博弈论和经济行为》一书的出版标志着博弈理论的初步形成，随后发展壮大为一门综合学科。1994年三位长期致力于博弈论研究实践的学者纳什、海萨尼、塞尔顿共同获得诺贝尔经济学奖，使博弈论在经济领域中的地位和作用得到权威性的肯定。

2．博弈论的基本原理和方法

文献[1][2]用浅白的语言叙述了博弈论的思想精髓和基本概念。文献[3][4]更注重理论上的分析和数学的严谨。概括起来，博弈论模型可以用五个方面来描述

G={P，A，S，I，U}

P：为局中人，博弈的参与者，也称为“博弈方”，局中人是能够独立决策，独立承担责任的个人或组织，局中人以最终实现自身利益最大化为目标。

A：为各局中人的所有可能的策略或行动的集合。根据该集合是否有限还是无限，可分为有限博弈和无限博弈，后者表现为连续对策，重复博弈和微分对策等。

S：博弈的进程，也是博弈进行的次序。局中人同时行动的一次性决策的博弈，成为静态博弈，如齐威王和田忌赛马；局中人行动有先后次序，称为动态博弈，如下棋。

I：博弈信息，能够影响最后博弈结局的所有局中人的情报，如效用函数，响应函数，策略空间等。打仗强调“知己知彼，百战不殆”，可见信息在博弈中占重要的地位，博弈的赢得很大程度依赖于信息的准确度与多寡。得益信息是博弈中的重要信息，如果博弈各方对各种局势下所有局中人的得益状况完全清楚，称之为完全信息博弈（gamewithcompleteinformation），例如齐威王和田忌赛马，各种马的组合对阵的结果双方都不严而喻。反之为不完全信息博弈（gamewithincompleteinformation），例如投标拍卖，博弈各方均不清楚对方的估价。在动态博弈中还有一类信息：轮到行动的博弈方是否完全了解此前对方的行动。如果完全了解则称之为“具有完美信息”的博弈（gamewithperfectinformation），例如下棋，双方都清楚对方下过的着数。反之称为“不完美信息的动态博弈”（gamewithimperfectinformation）。由于信息不完美，博弈的结果只能是概率期望，而不能象完美信息博弈那样有确定的结果。

U：为局中人获得利益，也是博弈各方追求的最终目标。根据各方得益的不同情况，分为零和博弈和变和博弈。零和博弈中各方利益之间是完全对立的。变和博弈有可能存在合作关系，争取双赢的局面。

还有另一类型博弈称为多人合作博弈，例如安理会投票表决，OPEC联合限产保价等问题。这类问题重点放在联盟利益的分配上，它的理论和方法广泛应用于利益损失的共同分担问题。多人合作博弈的研究方法主要是特征函数模型。以个可能的联盟为定义域，特征函数表示各个联盟的得益（N是局中人的数目），它的分配解必须符合一定的合理性和稳定性，它的解的概念也发展成多种多样，包括稳定集、核心、核仁、Shapely值等。解的多样性符合现实世界复杂多样的需要，针对不同的问题选择或创造合适的解的概念是博弈论深入研究的课题。

不管博弈各方是合作、竞争、威胁还是暂时让步，博弈论模型的求解目标就是使自身最终的利益最大化，这种解建立在对方也采取各自“最好策略”为前提，各方最终达到一个力量均衡，也就是说谁也无法通过偏离均衡点而获得更多的利益。这就是博弈论求解的本质思想。

3、博弈论与电力市场

博弈论是研究市场经济的重要工具。电力作为特殊的商品，它的生产、运输、销售和消费也逐渐走向市场化。世界范围内很多国家的电力工业走向放松管制、引进竞争的进程中，遇到很多前所未有的新课题，运用博弈论来分析解决其中一些问题是一个研究方向。用博弈论模拟电力市场，模拟的结果可能更加接近实际，为市场模式设计提供依据。另外，电厂或用电用户作为市场的参与者，可以用博弈论来分析市场，研究如何报价获利最大。

正确运用博弈论关键要针对电力市场的特点正确选择模型和解的概念。例如：力量相当的两个区域电网之间交换功率的情形比较适合用古诺模型和Nash谈判解方法；而自备电厂与公用电网之间的交易可能更适合用Stackleberg模型。还有局中人结盟问题：如何识别合作伙伴，结盟利益如何在联盟内分配。电力市场环境下，电网输电作为一项服务，它的网损、固定资产投资如何在网络使用者之间分担。这些分配问题有不同的概念的解：稳定集，核心，核仁，Shapely值等，如何合理选择或创造最接近实际的解的概念也是面临的课题。

博弈的结果是依赖于拥有的信息，采用什么样的信息披露政策是设计电力市场模式的一个方面。例如：电厂竞价上网，一个成功的报价不仅取决于自己的实力，还有赖于他人如何报价。但是各方往往不清楚互相之间成本、报价等信息，因为这些信息都是各自的商业秘密。如何处理这种信息既不完全也不完美的博弈是一个重要的课题。反过来，博弈的实验结果也为电力市场披露怎样的信息提供依据。

博弈论和电力市场理论都是很年轻的科学，两者都有广阔的发展天地，两者的结合可以互相促进。

4、博弈论在电力市场中的应用

4.1自备电厂与公用电网之间的交易

开放发电市场的进程中，拥有自备电厂的用户是一类特殊的市场参与者，它既是用电用户，也可以是电力的供应者。随着电力市场深入发展和工业的进步，自备电厂将成长为一支生力军。

文献[5]用博弈论来分析评价在分时定价的环境下拥有自备电厂的用户（NCP）对定价的影响作用。NCP既可以从公用电网购电，也可以自己发电来满足自身需求。为解决两者的冲突，作者提出了三种博弈模型：非合作Nash博弈模型，合作博弈模型和超博弈模型。作者构造了三个局中人：公用电网，普通用户，带自备电厂的用户（NCP），并且假设它们的需求函数、边际成本、收益函数等均是线性的，通过数字模拟得出了一些有趣的结果：①NCP的加入促使公用电网降低出售给NCP的电价；②冲突还使普通用户得到更多益处。该文为解决自备电厂与公用电网的相互作用提供了很有用的分析思想。但是尚有三点可以进一步改进：①该文尚未考虑NCP将自己多余的自发电卖给公用电网的情况；②该文将公用电网和NCP置于平等的市场地位可能不符合实际市场，如果公用电网规模很大，NCP数目很多但规模小，考虑Stackerlberg模型更符合两者实际；③该文假设公用电网的目标函数是整个社会利益最大化，而并非是自身利益最大化，这个假设不符合电力市场需要解除管制的发展方向。

文献[6]部分解决了以上问题，它重点放在自备电厂和公用电网相互作用的方式的选择：公用电网回购NCP多余电力（buy-backsystem）或者公用电网收取NCP运转电力的过网费（wheelingcharges）。该文分析了在不同市场环境下，各方的得益情况，得出了一些可能只有用博弈论才能得出的结论。

4.2区域间输电交易分析

互联网间短期电力交换是一种经济运行的手段。白晓民等在文献[7]中应用Nash博弈论来分析简单的两区域系统单时段交易分析，得出双方都可接受的交换功率和交易价格。在此基础上，文献[8]提出了一种两阶段迭代计算方法来处理外部交易计划与内部经济调度的协调。该文所用的博弈模型是二人非零和对策，采取合作型对策，应用Nash谈判公理作为仲裁程序，决策出双方都可接受的交换功率和交易价格。应该指出，白晓民等的分析是基于完全信息的博弈也即博弈双方均对对方在各种情况下的得益了解非常清楚。如果缺少这方面的信息，又应该如何分析处理呢？这个问题值得进一步深入探究。

4.3转运市场中电网的固定成本分摊问题

运转市场中一个难题是网络输电服务定价，这个定价能够给网络使用者一个信号，以达到全网最优化；并且能够补偿网络的投资者，网损、变动成本、固定成本等费用在网络使用者中合理分摊；同时能够正确激励网络增容。节点实时价格（nodalspotprice）制度可以解决网损和网络阻塞问题。但是文献[9]的作者认为节点实时价格制度不能完全回收输电系统的固定投资，为了解决双边贸易中输电系统固定成本公正分摊问题，作者提出了基于多人合作博弈模型，可以计算出逐条线路逐笔交易的分摊费用。文中使用“核仁”作为模型的解。该方法的优点：①使用“核仁”而不用Shapely值，因为“核仁”处于核心，分配值更加稳定和易于被各方接受；②提供了一种激励，减轻线路过载。

4.4基于Pool或PX模式的多边贸易市场

电力市场环境下的博弈具有行动策略随机性、信息隐蔽性，这些特点都给建模和计算造成困难，从而限制了实际应用。各种文献在处理这种不确定信息环境下的决策问题中，通常需要假设或者估计对方的信息，方法各有特色。

在文献[10]作者认为在完全竞争的市场环境下，市场参与者相对于市场规模都显得很小，市场影响力很小。在这种情况下，优化报价决策不需要博弈的思想。文中作者认为电力市场属于不完全竞争市场，单个市场参与者对市场是有影响力的，其模型本质上属于不完全信息的非合作博弈。例如：每个参与者只知道自己的成本信息，而不知道对方的成本等信息。在这种情况下作者提出了这样的一个问题：在无法完全了解对方的信息情况下，参与者如何投标（选择高价投标还是低价投标）才能使自己收益最大。该文通过转化的方式把不完全信息的博弈变为信息完全但不完美的动态博弈来求解。每个市场参与者均对自己的对手可能的出价进行分类，并对每一类的可能性进行概率估计，形成一个概率意义上的期望收益矩阵，用Nash平衡点的概念求解矩阵，得到问题的解。

文献[11][12]作者提出了一种谈判模型。每一个局中人进行决策时，都同时执行以下两个步骤：①对可能的合作对象按照一定的指标进行优先排序；②按照谈判优先顺序，逐一进行讨价还价，谈判的规则与程序是预先设定好的。该文的特色是谈判对象的优先顺序表的形成。排序的准则基于该局中人A对关于他人的信息的了解程度。先分别对其他局中人的成本信息进行分类，并对每一类出现的可能性进行概率估计。然后假设与某局中人B进行合作，互相交换共享所拥有的信息，联合成博弈的一方，剩下的局中人结合为博弈的另一方。这样的博弈模型的Nash平衡点是概率意义上的期望值，作为与B合作的优先指标。对每个局中人都进行一遍以上计算，得到了A的谈判对象优先顺序表。每个局中人都有自己的一张优先顺序表。最后按照预先设定的谈判规则与程序，各方同时进行合作谈判，谈判要解决如何合理分配或均衡比单干多出的利益。

该文关键的一点：正确掌握对方的成本、策略等信息。各方可能从每一次博弈的结果中得到有用的反馈信息，并用这种反馈来更新自己的知识库，提高对他人了认识。遗憾的是作者并没有提到如何实现这样重要的学习过程。该文的模拟算法中的一个缺点：计算量随局中人的数目和每个局中人类型的数目的增长呈指数增长。

对于多边贸易模式的电力市场，文献[13]提出了多理论模型，解决贸易合作问题，文中的模型基于完全信息的博弈模型。模拟的过程包括四个阶段：①确定自身成本等信息；②与对方互相交换信息，互相寻求合作伙伴；③按照预先设定的准则和协议进行联合分组，形成一个谈判对象优先顺序表，这个顺序表获得方法于[11][12]的方法不一样。作者采用公平性合作标准和Shapely值来确定这个顺序表；④按照优先顺序表进行双边谈判。作者认为这四个阶段可以反复迭代进行，直至没有人愿意改变合作格局为止或者达到预先设定的计算时间。作者在文中考虑了多种情况，但是模型仍偏于简单。

4.5用博弈论解释和实现算法

文献[14]用博弈论来解释拉格朗日松弛法法解决机组经济组合的算法。该文认为在电力市场的环境下，竞争各方均以实现自身利益最大化为目标，旋转备用的约束变得软起来，PX（powerexchange）机构可能通过松弛这一约束进一步降低成本。该文提出了一种基于博弈论的算法获取最优的旋转备用。

作者认为拉格朗日松弛法的拉格朗日乘子是有经济含义的，松弛旋转备用的乘子被看作是提供备用的价格信息，各时段的旋转备用根据这个信息不断在规定的高低两种备用水平之间调整（例如：为t时段负荷）。根据优化原理，如果拉格朗日函数存在鞍点，则鞍点是原问题的最优解。

鞍点的概念与博弈论中的Nash平衡点有非常相似之处，如以上公式所示。基于此想法，作者构造了两厂商博弈模型。其中一局中人P代表整个实际电网的利益，它控制的决策变量是p，u（p向量表示各机组分配的有功，u向量表示机组启停），目标是使整个系统成本最低。另一个局中人Q，是一个假想的发电商，它以价格向P销售备用容量和有功容量。双方就旋转备用交易进行讨价还价，最终达到一个平衡的交易量和交易价格。作者证明以上博弈过程的Nash平衡解就是拉格朗日函数的解。基于以上结论，作者设计了自适应的次梯度算法寻求平衡点，其中一个关键技术作者设计了厂商P对厂商Q备用容量报价的反应函数该函数将映射到备用容量的两种水平之间（例如：5%Dt-%Dt，Dtt时段负荷），形成一个随价格信息变动的备用容量。根据厂商Q是否了解厂商P的反应函数，模型可细分为两种：Nash模型（不了解对方反应函数）和Stackelberg模型（Q了解P的反应函数），作者认为后一种模型掌握的信息较多，因此收敛的速度和优化的效果梢好于前一种模型。