数学原始概念范文

导语：想要提升您的写作水平，创作出令人难忘的文章？我们精心为您整理的13篇数学原始概念范例，将为您的写作提供有力的支持和灵感！

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这类似的表达，书中无处不在。夏勇先生是非常明确的措辞似乎明白了什么是人权的西方的概念，并且在其他的事情，我知道西方古典中国的人权状况，准确，完全不同。两个完全不同的东西都不需要，需要进行比较，既似是而非的东西。稍微熟悉历史的西方人权的读者会很清楚的西方人权，所谓的自然权利，直接关系到人的品德。

但夏勇先生在东方和西方之间的差异，准确地表示说：“我认为中国文化在其自己独特的方式来弘扬人的主体精神。成就功德，神圣的境界涅磐，由于个人的道德努力，本身反映了作为一个人的尊严和价值的人。（《人权概念的起源》P185）夏勇先生也知道，此人是根据抽象的道义上的个人，或者是抽象的伦理道德的个人主义日下跌，倒挂对人权和个人的权利，在西方是两个不同的东西。

在这方面，夏勇先生缺陷不能说，相反，夏勇先生故意。故意的目的，就是探索西方人权概念的名称，解决真正的问题。不幸的是，西方的概念虽然在中国的土地上广为传播人权的西方差异，但地球不能扎根。夏勇先生也很无奈，他是多么希望能够“一桥飞架南北，但事实摆在面前。所以，10年后，夏勇先生还寻找权力的概念，在过去一百年的空前繁荣，特别是在革命期间，1911年“宪法”，“共和”后，为什么中国人民在面对权力，那么的无助，软弱和无助吗？他们怎么能在实际的社会生活中真正享受公法意义上的权利吗？他们是如何看待权利？社会变化所带来的1978年改革开放以来公民权利这是什么意思？为什么过去党和政府的利益保护好，但现在他们已经侵犯。在过去一百年来，在中国的权利已成为一个流行的名词。

和谐这个词，成为核心词汇的时刻之一。夏勇先生一旦这个词表达了他的愿望，来仔细比较夏勇先生的和谐与和谐的相似性和差异目前的主流。我读夏勇先生是最早表示的和谐理论，同时也基于对人权的和谐。

夏勇先生的博士论文《人权概念起源》提出了和谐的理念。夏勇先生探讨人权的概念，尾部的“人权和人的和谐”。长尾理论的起源，似乎是顺便说一下，顺带讨论，但事实上，这是夏勇先生目的地先生夏勇讨论花费大量的空间，人权的概念要弄清楚来龙去脉，只是一种手段，真正的意图是要弄清楚人权概念的目的。，夏勇先生直言不讳介绍：“我们应该通过对人权的历史事实为基础的研究，总结了历史上的人权和发展的规律，这将传递和发扬了中华民族的文化传统，尤其是在追求和谐精神，根据社会的进步，中国的人权理论和人权制度的建立和发展的需要。这是本书的意图所在。

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摘要:为了让大一新生尽快适应高等数学的学习,本人认为加强高等数学中的概念教学是一个起关键作用的环节。

 

对于刚迈进大学的理工科的学生来说，高等数学是首当其冲的一门重要的基础课。很多新生一时还难以适应，常常产生各种各样的问题。如何帮助学生度过这一“非常时期”，使之尽快适应大学的学习生活学好高等数学这门主要的基础课？笔者认为，加强高等数学中的概念教学是一个起关键作用的环节。

一、正确理解数学概念是学好高等数学的前提

无论是初等数学还是高等数学总是从繁杂纷纭的客观世界中抽象出一系列的数学概念，然后以这些概念为基础，进行合理的判断和推理，引出一些定理和公式，形成一个理论体系，然后把“这些符合论理的结论”应用到新的应用领域或实际问题中，因此可以说，概念是数学的基础，概念教学应成为高等数学教学的核心与重点，它是教师教好与学生学好高等数学的关键。只有当教师深刻全面地理解了概念的内涵与本质之后，才能透彻地讲解给出来，学生才能很好的接受，才能以此为基础进行推理、判断、分析等思维活动，理解数学理论体系的来龙去脉，掌握运算的技能技巧。从而获得应用数学方法去分析问题与解决问题的能力。

在初等数学中，大多数概念都比教具体直观，学生容易接受，再加上课时较多，进度较慢，教师由浅入深，亦步亦趋，使一般学生都不会对接受新概念感到很困难。即使有一些学生不重视概念学习只注意计算方法与技巧，但在长期与大量的练习中，由于反复接触，潜移默化，不知不觉地对概念由知之不多过度到知之较多，逐步掌握了概念。但在学习高等数学时，情况发生了很大的改变，高等数学是研究变量的数学，常常需要用运动的观点来讨论，因此更显得抽象、复杂。例如极限、导数、积分等概念都是初学者所不能透彻理解的，加上大学里的教学进度快，反复练习的机会少。难免会使一些新生感到不适应，概念掌握不好，以致于以概念为基础的理论及计算方法当然也就很难学好。因此能不能用有限的时间加强概念教学就成为提高教学质量的关键。

二、注重概念的引入是学习概念的先导

众所周知，数学概念都是由客观实际或客观规律抽象出来的。很多概念都可以在实际中找到它的“原型”。例如：从曲线切线的斜率、变速直线运动的速度的计算等问题抽象出导数概念。从求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等问题抽象出定积分的概念，这种方法符合学生的认识规律，学生只有透彻地理解解决这些问题的思路，才能真正地理解概念的实质及价值。因此，教师不能认为花费一定时间讲解这些背景是没有价值的、是在浪费有限的时间，因而便三言两语草草了事或者根本不讲背景，直接拿出定义，接着便是计算，一个例题接着一个例题，这是不妥当的。再者从客观实例引进概念，也为以后应用这些概念及有关理论去解决应用问题作了一定的准备。

值得注意的是并非每一个概念都要求由实例引入，教师可灵活掌握。对于一些较易理解的概念也可以从已知的概念引出新的概念。例如：无穷小量可由极限概念中当极限值为零时来得到，连续概念也可由极限概念中极限值等于函数值来得到。而原函数的概念自然而然的可由导数的逆运算引出。这些概念对于学生来说都是不难接受的。

总之，不论是由实例抽象出概念还是由旧知识直接引出新概念，教师的主要目的应该放在使学生理解概念的形成，掌握概念的内涵上，所以所用的例子都不宜太复杂或者专业性太强，否则会造成喧宾夺主，反而影响概念的形成与引出。

三、数学概念的定义是概念属性的体现

高等数学中的概念的具体内涵通常用定义的形式给出，有的概念还同时规定了所采用的符号。当教师以实际问题或学生的原有知识为基础抽象出概念以后，就应引导学生理解定义所指出概念的本质属性，从正面和反面等不通角度去反复领会，并利用自己的语言正确地叙述概念。

 以导数的定义为例，教师应该使学生层层深入，理解以下各点：

第一、由于函数 在点 处的导数是函数增量 与自变量增量 之比当 时的极限，所以该函数必须在 处及其一个领域内有定义，否则就不可导，比如： 与 在 处就不可导。

第二、函数增量与自变量的增量有不同的表示法。因此导数定义式也有不同的表示法。如： 在 处的导数可以分别表示为 与 等。当极限不存在时此函数在该点不可导。

第三、定义同时给出了求导数的三个步骤：①求函数增量 ②求函数增量与自变量增量之比 ③求极限 ，告诉学生按照这三步就可以求出一些简单函数的导数。

    高等数学中有不少概念的定义都明确指出了计算的方法与步骤，除上述导数外，连续概念、定积分概念、级数收敛性概念等都是如此。教师在进行这类概念教学时应该花费一些力气按定义指明的方法与步骤进行有关的计算，以加强学生对这一概念的理解。同时教师也应向学生指出按定义直接进行计算一般是很困难的，因此有必要研究其性质及别的计算法则，这样做就可以唤起学生强烈的求知欲望。

    当然高等数学中并非所有的概念都是如此，有些概念的定义只是明确了概念的内涵，而并没有给出计算方法与步骤，如极限的精确定义、原函数与不定积分等等。教师在这类概念的教学中，为了加深学生的理解，一般都要按定义作一些验证工作，如：证明 ，证明 和 都是 的原函数。

学生在学习高等数学时往往有一个不良习惯，轻概念重计算，以为学习高等数学无非就是要会计算、会做题。常常有这样的事情发生，有的学生学完了高等数学也知道 却说不清楚符号 所表示的确切含义，更有甚者学完了高等数学却不知道微商是什么。因此从始至终抓紧概念的教学是很重要的，这不仅要熟记定义的条文、定理的条件和结论，更重要的是透彻地掌握其本质。

四、在概念系统中学习概念

教师经常会遇到这样的情况，有的学生学习一个概念时，以为明白了定义的本质，但是若把这个概念与其它有关概念放在一起时，就糊涂了，比如极限、连续、可导、可微之间的关系，教师都会给学生讲清楚，但学生一碰到下面的问题就举棋不定，不知道从何写起:

设    

1)             取何值时， 在 处连续？

2)             取何值时， 在 处可导？

3)             取何值时， 的导数在 处连续？

为什么会出现这种情况呢？一方面是学生还没有真正领会概念的本质，有的学生当时弄清楚了但缺乏巩固措施，不久就忘了。另一方面是学生习惯孤立地学习概念，不善于把相关概念相比教，找出它们之间的联系与区别。因此，在进行概念思维时就会出现“断线”现象，无从下笔，或者写不清楚。要解决这个问题，教师必须在概念系统中教会概念，学生必须在概念系统中学会概念。数学是由概念与命题等内容按一定的逻辑关系组成的知识体系。概念与概念之间总有一定的内在联系，特别是一些相近的概念，其联系更为突出，学生最易混淆。因此，教师在进行概念教学时要不时的将这些概念与前面所学过的相近概念相比教，找出它们的联系与区别，前面说的极限、连续、导数、可微是如此，在此之后的四个中值定理更是如此。

总之，把概念放在概念系统中教学是教师应当把握的教学规律。教师每讲一个新概念，首先必须对这一概念的地位、作用以及与其它概念的联系做到心中有数，使学生对已学过的概念能做到融会贯通，同时，又为今后要学的新概念埋下“伏”笔。

最后要说明的是，对于工科高等数学中的概念的教学，教师必须掌握分寸。工科数学毕竟不同于数学专业的数学，应该着重于应用，而不宜在纯数学理论推导上花费过多的精力，另外专业之间也应该有所区别，这些都是我们从事工科数学教学工作的教师应该注意的。

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数学是以现实世界中的空间形式和数量关系为研究对象的学科，由于一切事物的特性或事物间的关系在不同程度上都需要通过一定的量的关系来加以描述，因此数学是我们认识世界的基础。在人类不断认识和改造世界的过程中数学自身也在发展，它已成为现代社会中一般成员必备的科学文化素养，是各类劳动者不可缺少的知识，更是学习各专业知识的重要基础。在各类专业学习中，数学都是作为一门重要的必修课，因为数学的学习直接影响专业知识、技能的学习。在数学中数学概念是非常重要的一个内容，正确地理解数学概念是掌握数学知识的关键，是进行数学判断、推理的前提。只有概念明确，才能判断准确，推理有据，只有深刻理解数学概念，才能提高解题的能力。因此，搞好数学概念教学是提高数学教学质量的一个重要方面，本文就数学概念的教学谈几种方法。

从实例引入

数学知识是前人通过辛勤的智力劳动获得、积累并证明的正确结论，它的获得过程蕴含着培养智力的因素，它所运用的归纳、论证、推理等逻辑方法训练人的思维，具有可贵的启发智力的作用。数学内容可分为科学的数学内容和作为教材的数学内容；科学的数学内容一般结论精确、逻辑严密，作为科学专著，其目的是让读者明确并信服相应的数学理论。而作为教学内容的数学，其教材除了保证必要的严谨性以外，更力求于理解。它不仅要保证相应的理论和方法让学生信服，而且还要让学生完全理解，还必须吸引学生的学习兴趣，能够提高学生的能力。但由于篇幅等因素，一般的教材，尤其是职业学校的教材，不可能具备上述条件，因此教师就要想办法，充分备课加以补充，尤其是对数学概念的教学。数学概念分为原始概念和推出概念。对于原始概念，不能用别的数学概念去定义，只能从实际事例中抽象理解。如集合、平面等。对于一般的概念，在传统数学教学中，往往忽视给概念，下定义的过程，而仅仅强调“从定义出发”，只是注重了内容的学习。如果从概念定义到概念定义或采取直接定义的方式来引入某个数学概念，学生也不易理解，也没有注重思维方法的培养，这不符合数学发展智力的作用和素质教育的要求，因为学生没有参与概念的形成。即便是死记硬背，把概念机械地记下来，也只能是知其然不知其所以然。而运用启发式从实例出发经过分析、比较、综合、抽象、概括等一系列思维活动，不但能理解抽象的数学概念，而且学生充分参与到概念的形成中，培养了学生的思维能力。因此在数学概念教学中，如果是原始概念，最好用实例去解释，让学生来理解。而对于一般的数学概念，也要从具体实例出发，运用启发式，让学生参与到概念的形成中去。例如函数的概念，就可以运用生活中的实例：以一种书的数量、书价与所付款的关系来进行讲述，形成自变量、应变量的关系，抽象出数学概念。对于数学概念的教学来说，从实例引入，抽象出数学概念是一种很好的方法，当然不能一概而论。

概念对比法

在数学中，概念非常多，而且很相象。学生学习起来易产生混淆。采用对比法，可帮助学生对概念的理解，如指数函数和幂函数，对数函数和指数函数。通过分析它们的区别从而使学生分清各函数的性质，以便利用性质解题。如果把新概念与旧概念对照起来讲，不仅能使学生比较顺利地接受、理解新概念，还能使学生从中看到新旧概念之间的区别与联系，对理解新旧概念都有帮助。如函数概念是反函数概念的基础，对于反函数概念的理解，是在函数概念的基础上，因为反函数也是函数，符合函数的概念。通过学习反函数，又加深了对函数概念的理解。因此运用对比法进行数学概念教学，尤其是对于相似的数学概念非常有效，所以这也是帮助学生理解数学概念的一种方法。转贴于

从简单概念引出复杂概念

许多概念是由其他概念推出来的，而数学知识具有严密的逻辑性，前一个知识往往是后一个知识的条件或基础。因此对于数学概念来说，除原始概念外，都是前一个概念的深化和更高度的概括。所以在讲授新概念、尤其是复杂的概念时，若能在旧概念、旧知识的基础上，从简单的概念入手，引出复杂概念，从低级概念引出高级概念，则能起到很好的过渡作用。如利用学生熟悉的变速直线运动中求某一时刻的速度的方法引入导数概念，会很容易理解导数的概念。利用这种方法，大大降低了学生接受复杂概念的难度。因此，利用深入浅出的方法来理解复杂的数学概念也是一种化难为易的好方法。

利用图像法

有的数学概念可以利用图像进行辅助教学，例如函数的特性（单调性、有界性、周期性）、导数的几何意义都可以利用画图的方法进行直观说明。图像具有直观性，对于较复杂的数学概念用图像来说明可以达到事半功倍的效果。

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众所周知，概念是一种思维形式，又是思维的工具，一切分析、推理、抽象、概括都离不开概念,学生只有掌握了数学概念，才能更好地推理和证明，才能发散思维。掌握数学概念有利于创新能力的培养，有利于整体素质的提高。

数学概念按定义的方式可分成三类：原始型概念、属加种差型概念、约定递归型概念。根据概念类型的不同我们采取不同的教学方法，会使学生对概念有更深的了解。

一、原始型概念的教学

原始型概念，是指客观事物的空间形式或数量关系直接反映出来的，并能找到现实原型的数学概念。如几何中的点、线、面等，代数中的自然数、有理数、无理数、正数、负数等。原始型概念常用比较和描述的方法揭示概念的基本特征，因而又称为描述性概念。原始型概念的教学可以结合丰富多彩的现实世界,由教师组织引导学生进行发散思维，充分发挥学生的想象力，发挥学生的主观能动性。通过例子讲清楚其现实意义，可使学生对概念更明确，理解更深刻。

例如，桌面、黑板面、平静的水面都给我们以平面的印象，几何里说的平面就从这些具体的平面印象中抽象出来的。但是，几何里的平面是无限延展的。教师在讲解“平面”这一概念时，要防止学生误以为平面就是桌面、黑板面、平静的水面等，这时可让学生体验到桌面、黑板面、平静的水面的共性――“平”，然后给出“平面”的概念。之后，教师可让学生举一些日常生活中有关“平面”的例子，使学生成为课堂的主角，引导学生提出问题和发现问题，培养学生的创造性思维。爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”即使经过检验发现这个问题是错误的，但对学生思维的训练也是有益的。

二、属加种差型概念的教学

属加种差型概念，是指用概念本身邻近的属和区别于同一属中其他概念的种差来定义的概念，这种定义可以用下面公式表示：邻近的属+种差=被定义项。

（一）明确从属关系

教学时，教师应指导学生认真阅读，联系以前学过的相关内容，揭示概念的内涵与外延，让学生清楚地理解概念间的从属关系，使之成为学生心中一个完整的知识体系。

例如，在棱柱、直棱柱、正棱柱的教学时，教师可以利用实例引入棱柱概念，采用启发式教学，引导学生积极思维，增强他们主动获取知识、分析问题和解决问题的能力。通过分析，学生能较快掌握这三个概念之间的关系。

（二）正确理解概念的种差，是真正理解与掌握概念的关键

教学时，教师要引导学生用简洁、合乎逻辑的数学语言从不同角度去正确表述种差，以训练学生的发散思维。

例如，在进行“假分数”教学时，可做如下表述：

表述1：分子比分母大或者和分母相等的分数是假分数；

表述2：分子大于或等于分母的分数是假分数；

表述3：大于或等于1的分数是假分数。

对以上概念的内涵和外延进行透彻的理解，弄清概念的本质属性以及相近概念的区别，是灵活运用概念的必要条件。

三、约定递归型概念的教学

约定递归型概念，是指概念定义时用约定的方式或用递归的方式定义的概念，可以分为两类：约定型与递归型。

（一）约定型概念

约定型概念在讲解时，可以从以下三个方面去考虑：

1.指明规定的合理性及规定后的重要意义；

2.查阅有关资料，说明是在什么样的背景下这样规定的；

3.寻找易证的方法帮助学生记住规定性的概念。例如，零指数，规定a0=1（a≠0）,虽然零指数是规定的，但我们还是要知道零指数的真实意义。如下面的等式：22÷22=22-2=20=1。

（二）递归型概念

∑ai的递归定义：设f（n）=∑ai，f:NR

满足:1.f（1）=a1，

2.f（k+1）=f（k）+ak+1(k∈N)。

递归型概念的教学，必须充分发挥思维的发散性，从多角度去研究和教学，鼓励学生大胆猜想。波利亚《数学的发现》一书中曾指出：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想出这个定理，在你搞清楚证明细节之前，你必须猜想出证明的主导思想。”猜想是一种领悟事物内部联系的直觉思维，常常是证明与计算的先导，猜想的东西并不一定是真实的，其真实性最后还要靠逻辑或实践来判定，但它却有极大的创造性。

在概念教学的过程中，让学生学到的概念得到巩固，有利于启迪创新思维，激励创新行为。例如，教师教学“分数的基本性质”后，在学生准确理解分数的基本性质的基础上，抓住“同时，同向，同倍”的变化规律，让学生不断去运用，使其思维活动在概念的运用过程中迸发出创新的火花。

由此可见，创新思维并非是一种单一性的思维，因此教师必须充分重视学生的形象思维、发散思维和直觉思维以及猜想思维的培养，并注意各种思维方式的辩证运用，通过解决具体的数学问题进行独立探索和钻研，领会数学思维的规律和方法，发展学生敏锐的观察力和丰富的想象力，提高数学思维的严密性、灵活性、批判性和创造性等思维品质，达到对知识和问题的举一反三、概括迁移、融会贯通的效果，培养学生发现问题和提出问题的能力。

总之，教师在数学概念教学中，要灵活运用上述方法并结合实际情况，让学生的脑子动起来，运用概念去判断、推理、证明。在日常生活或生产实践中运用概念，在运用概念过程中加深对概念的理解。同时让学生主动地参与教学过程，进行探究式学习，在探究过程中充分发挥学生的能动性，让学生的思维有广阔自由的空间，促进发展学生的创新思维能力。

参考文献：

1.施良方，《学习论》，1994

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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）09-0270-01

一、数学概念的特点和学习意义

数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性。概念反映的是一类对象的本质属性，即这类对象的内在的、固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象是现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式构造，在某种程度上表现为对原始对象具体内容的相对独立性。

数学概念又具有抽象与具体的双重性。数学概念既然代表了一类对象的本质属性，那么它是抽象的。以“矩形”概念为例，现实世界中没见过抽象的矩形，而只能见到形形的具体的矩形。从这个意义上说，数学概念“脱离”了现实。由于数学中使用了形式化符号化的语言，是数学概念离现实更远，即抽象程度更高，但同时，正因为抽象程度愈高，与现实的原始对象联系愈弱，才使得数学概念应用愈广泛。但不管怎么抽象，高层次的概念总是以低层次的概念为其具体内容，且数学概念时数学命题、数学推理的基础部分，就整个数学体系而言，概念是一个实在的东西。所以它既是抽象的又是具体的。

数学概念还具有逻辑联系性。数学中大多数概念都是在原始概念（原名）的基础上形成的，并采用逻辑定义的方法，以语言或符号的形式使之固定。其他学科均没有数学概念那样具有如此精确的内涵和如此丰富、严谨的逻辑联系。

从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的、零碎的认识。这样久而久之，从而严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握和运用。比如有同学认为是奇函数，有的同学在解题中得到异面直线的夹角为钝角，有的同学认为函数与直线有两个交点，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的。只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能有正确、合理、迅速地进行运算，论证和空间想象。从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。

二、数学概念的教学形式

（一）注重概念的本源、概念产生的基础，体验数学概念形成过程

每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使学生的思维呈依赖状态，这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在数学概念教学中培养学生的创造性思维。引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力，因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。

（二）挖掘概念的内涵与外延，理解概念

新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；（3）任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出：（1）三角函数的值在各个象限的符号；（2）三角函数线；（3）同角三角函数的基本关系式；（4）三角函数的图像与性质；（5）三角函数的诱导公式等。可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工 ”，重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，有利于学生理解概念。

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能力的基础。

中学数学里有各种各样的概念，由于各个概念的具体内容，和它在数学中地位和作用的不同，数学概念有主要和次要之分，有难学和易学之分，有一般和关键之分。因此，对各个数学概念的教学具体要求也应有区别。一般来说，对数学中一些重要概念的教学应使学生得到较系统的知识，即使学生认识了概念是如何产生和发展的，但要明确数学概念，最主要的就是使学生掌握概念的内涵和外延及其表达形式（也包括定义名词符号），还要了解有关概念之间的关系，成为系统的知识，并能运用概念知识来了解数学问题。即要求理解、巩固、系统、会用，为了达到这样的要求，下面探讨有关数学概念的教法问题。

1、数学中如何引入新数学概念

有的数学概念是直接从客观事物的空间形式和数量关系反映出来的，有的则是在抽象的数学理论基础上经过及其抽象才产生发展出来的。

但是数学概念不管如何抽象，都有它具体内容，对于中学数学概念的具体内容，中学生在生活和学习过程中，或多或少都有过接触。因此在中学进行新概念教学时，既要从学生接触过的具体内容引入，也要从数学内部的问题提出，这是比较好的一种教学方法。

例如：正负数的教学，一般是从有相反意义的量引入正数和负数，同时也要从正数减法运算产生矛盾，指出需要引入负数，又如无理数的概念教学可以无公度量的存在引出无理数，也可以从正数开方的产生矛盾引入无理数。

2、数学概念的外延和内涵的教学方法

对于原始概念的教学，一般是通过对具体事例的观察，找出某些特性，并给予说明或描述，使学生认识这个原始概念所反映的现象的范围和属性。例如在几何中关于“点”的教学，可以让学生观察箭头的尖端木板上外刺得痕迹，从而抽象出“占有位置而无大小”的概念，还应说明大小关系式无足轻重的，也就是对它的大小不加可否。正因为它脱离世界的物质内容，因此在数学中就可以吧箭头的尖端，或者针刺的痕迹作为“点”的模型。

对于定义的概念教学应重点讲解定义中的种概念和属概念的类差，使学生认识被定义的概念既具有它的种概念的一切属性，又具有它自己独有的特性既定义中的类差，这样学生就初步认识了概念的内涵。为了是学生对所学的概念加深认识，可以用概念的分类方法或者与其他有关概念比较的方法，进一步弄清楚概念和概念之间的关系，既概念的外延。

例如，在平面几何中，讲授圆的概念时，应强调指出圆是“平面内点的集合”这就是把圆与球面区别开来。另外还应强调指出，圆具有它自己的特性，即圆的任一点具有“到一定点等于定长”这个性质，这就是圆区别于其他平面、曲线的特征。学生掌握了圆的内涵与外延，就不难了解为什么一般圆弧不叫圆，也不难理解球和圆的区别。

3、如何使学生认识概念间的关系

中学数学概念在教学过程中是不断发展的，根据概念的互相联系构成一个数学知识体系。因此，数学教学必须使学生逐步认识数学概念间的关系，从而系统掌握数学基础知识。

为了使学生认识概念间的关系，数学上一般采用概念分类，或者比较概念的内涵和外延，找出它们的共同点和不同点，从而找出它们的各种关系，如同一关系、包含关系等。

例如，为了使学生对实数概念得到较全面系统的认识，在复习实数概念时可以先把实数进行分类，写出分类表。通过分类表指出数的概念从自然数到有理数导实数的扩充过程，进一步比较各种数集及其运算性质。从而指出数的概念扩充原则以及各种数集间的关系。这样，学生会对数的概念得到清晰的系统的知识。

4、要是学生正确理解并运用数学概念的名称和符号

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中学数学教材始终洋溢着“数学美”的特质,数学教学活动中的师生无时不在感受数学美的诱惑。笔者结合中学数学教材,数学教学实际探讨中学数学之美。

一、数学的简洁美

简约是一种美。数学便是用最简洁的语言概括了数量关系、空间结构,也正因为简洁,数学才得以最广泛地运用,才有极强的生命力。

1.简洁的阿拉伯数字

1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0这一组数字是人们对物质世界存在性最直接最原始的表达。历史上,各国各民族都有自己的数字,但只有阿拉伯数字保留并广为流传,究其原因,简洁流畅的书写,干脆上口的发音,运算中进位快捷方便,是其胜出的法宝。

2.精炼的数学符号语言

自然界的客观存在和普遍联系要有合适的语言去表达,这种语言要言简意赅,要有普适性,各种各样的数学符号应运而生。正因为有了数学符号语言,数学知识才能一代代传下去。一位美国数学家说,合适的数学符号“带着自己的生命出现,并且它又创造出新的生命来。”

3.简明的公理化体系

数学犹如烟波浩渺的海洋,海洋中有数学分析,实函,复函,拓扑,还有欧式几何,解析几何,放射几何……它们彼此相似,但又各成一门学科。因为它们大多建立在各自的公理化体系上。所谓“公理化”,即首先通过理性思维,根据逻辑次序,指出原始概念,原始图形,原始关系,指出哪些是基本的不加证明的原始命题,即公理。由这些原始概念和公理出发,定义其它概念,证明其它命题。中学数学中不乏这样的精美知识链。函数遵循着“集合――映射――函数――图象和性态”的结构体系;立体几何遵循着“点线面等原始概念――公理――各种位置关系及判断(定理)――角与距离(运用)”的结构体系;向量遵循着“向量的概念――平面(空间)向量基本定理――向量垂直,平行定义及判定――运用向量”结构体系。有了知识结构,学习就有了蓝本,获取知识就有了效率。虽然有些体系并未严格公理化,但并不影响人们对明快的公理化方法的喜好。

二、数学的对称美

杨振宁认为物理学的现代方法“不是通过实验导致结论,而是考虑对称性的过程中列出方程式,由实验加以证实。”对称性的方法论同样带给化学深远影响。从物理、化学等自然科学中抽象出许许多多的对称,就形成了数学中的对称图形,对称多项式,对称方程,对称函数,对称矩阵,对称空间,对称群等,这些美伦美奂的对称带给人们平衡,完整的美感。

1.对称图形

对称图形分为中心对称图形,轴对称图形和镜象对称图形。众所周知,圆、球既是轴对称,又是中心对称,且球还是面对称几何模型;使圆、球保持不变的空间变换有无限多。圆是周长为定值,面积最大的(或面积一定,周长最小)的平面图形,球则是表面积一定,体积最大(或体积一定,表面积最小)的空间几何体。当然稍逊圆、球的是正多边形、正多面体,虽然不及圆、球完美,但其对称带给人们的美感仍不容小视。

巧妙运用对称对称多项式的性质,不仅简化运算,而且更能感受对称美的力量。

3.对偶原理

对偶原理广泛存在于几何,代数等数学学科。对偶原理要求既对换元素的种类,又对换元素运算。中学数学不乏这样的例子。

椭圆的定义:平面上到两定点距离和为定值( >两定点之距)的动点的轨迹。而双曲线的定义:平面上到两定点距离差的绝对值为定值(

以上数例,可以感知,对偶不仅是广泛运用的数学原理,更是一种数学思维方式。

三、数学的和谐奇峭美

人们喜好对称的正方形,但更欣赏神赐比例下的黄金矩形,和谐美,奇峭更美。数学发展史告诉我们,数学发展道路崎岖不平,时而晴空万里,光彩照人,充满静谧的和谐美;时而电闪雷鸣,乌云滚滚,有着神鬼莫测的奇峭美。

1.常量与变量

数学上用“常量”表示事物的相对稳定状态,用“变量”刻划事物的变化及运动状态。“常”中有“变”,常是暂时的,相对的;“变”中有“常”,变是永恒的,绝对的。变量变化的某个瞬间,变化的结果,都可以当常量处理。如函数y=f(x)在x0∈I的导数是一个常量,当x0取遍区间内的所有值,其导数就形成变量,如此就构成y=f(x)的导函数y=f′(x),而运用导函数又可以轻松求出函数在某点的导数

2.有限与无限

有限是经验的,直观的;无限更多的是靠推理,是想象的,理性的,无限步骤中的有限推理,无限过程中的有限结果。比如数学归纳法用有限的步骤证得命题在无限集(自然数集)上成立。又如球的表面积与体积公式的产生,就是用无限分割,求和,再求极限给出了S=4πr2, V=43πr3这一有限的结果。

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数学概念可分为两个重要方面：一是概念的“质”，也就是概念的内涵（概念的本质属性）；二是概念的“量”，也就是概念的外延（概念的所有对象的和）.假如把一个概念当做一个集合，那么概念的内涵就是这个集合里的元素的所有的共同属性的总和，而概念的外延则是这个集合中所有元素的全体.内涵和外延是不可分割的两部分.提示概念的内涵就不能不涉及概念的外延.概念的外延还有大小之分，外延大的就做种概念，外延小的则叫做属概念.在实数和有理数这两个概念中，实数是种概念，而有理数是属概念了.当然，种概念与属概念也不是绝对的，有理数对实数来说是属概念，但它对整数来说又是种概念了.一个概念，可能有许多的属概念.一个属概念与其他的属概念本质上的差别又称为属差.

要想给某一概念下定义，首先应先向学生指出被定义的概念最接近的概念是什么，再紧接着指出被定义概念的属差，即概念定义=种概念+属差.

例如，为了定义菱形，我们可以先利用“平形四边形”概念，“平行四边形”是菱形最接近的种概念，它规定了菱形所属的类别，但菱形不是一般的平行四边形，它以“有一组邻边相等”这一特征与平行四边形的另一属概念——矩形区别开，所以得到：菱形=平行四边形+有一组邻边相等.

为了使学生能明确被定义的概念，就得先做到心中有数，准确地找到与其最邻近的种概念及其属差，抓住概念的本质特征，把握定义中的关键字句，弄清概念间的区别和它们的内在联系，把握概念的内涵，加深理解概念的外延.因此，在平时的教学中应特别注意把不同的概念联系在一起，进行对比，并从不同侧面加深对概念的理解，使它系统化，否则会造成学生对概念理解模糊，而导致错误运用.

二、明确概念的层次性

一般的概念都是通过对实验现象或某些具体的事例分析，经过抽象概括而导出的，它有一个形成的过程.中学数学教材中的概念，是从几个原始的概念和公理出发，通过一番推理而扩展成为一系列的定义和定理，而每一个新出现的概念都依赖着旧有的概念来表达，或是旧有的概念推导出来的.

针对概念形成的阶段性、发展性和连贯性，教学中应当注意：在学生对某些预备概念模糊不清的情况下，千万不要急于引入新概念，应先复习涉及新概念的有关预备概念，尤其是重要的、关键性的预备概念，教师要反复强调，求得较彻底的理解.

三、掌握概念的抽象性

中学数学教材中的许多原始概念，如点、线、面、体、数、常数、变数等，都是由具体的事物观察再抽象出来的.人们长期观察了月亮、太阳、光线、水面等具体事物，逐步形成了有关“圆”、“ 直线”、“ 平面”等带有共性的、本质的概念.这是对具体的数和形的感知而形成的表象，再由表象经过抽象、概括而形成的.

概念是人们对感性材料进行抽象的产物，感性认识是形成概念的基础.如果学生没有感性认识或感性认识不怎么完备时，我们就应该借助于实物、模型、教具、图形或形象的语言进行较为直观的教学，使学生从中获得感性认识.对于一些概念（属概念），可以直接从已知的概念（种概念）中引入，不必再经过取得感性认识的阶段，如有理数的概念，就可以直接从整数、分数引入.

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中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）06-0071

一、数学概念的特点和学习意义

数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性。概念反映的是一类对象的本质属性，即这类对象的内在的、固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象是现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式构造。在某种程度上表现为对原始对象具体内容的相对独立性。

数学概念又具有抽象与具体的双重性。数学概念既然代表了一类对象的本质属性，那么它是抽象的。以“矩形”概念为例，现实世界中没见过抽象的矩形，而只能见到形形的具体的矩形。从这个意义上说，数学概念“脱离”了现实。由于数学中使用了形式化、符号化的语言，使数学概念离现实更远，即抽象程度更高。但同时，正因为抽象程度愈高，与现实的原始对象联系愈弱，才使数学概念应用愈广泛。但不管怎么抽象，高层次的概念总是以低层次的概念为其具体内容。且数学概念是数学命题、数学推理的基础部分，就整个数学体系而言，概念是一个实在的东西。所以，它既是抽象的又是具体的。

数学概念还具有逻辑联系性。数学中大多数概念都是在原始概念（原名）的基础上形成的，并采用逻辑定义的方法，以语言或符号的形式使之固定。其他学科均没有数学中诸概念那样具有如此精确的内涵和如此丰富、严谨的逻辑联系。

数学概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环。一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特别像笔者所在学校这样的普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此，抓好概念教学是提高中学数学教学质量的带有根本性意义的一环。

从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的、零碎的认识。久而久之，严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握和应用。比如有的学生认为是奇函数，有的学生在解题中得到异面直线的夹角为钝角，有的学生认为函数与直线有两个交点，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的。只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象。从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。

二、数学概念的教学形式

1. 注重概念的本源、概念产生的基础，体验数学概念形成过程

每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使思维呈现依赖性，这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在数学概念教学中培养学生的创造性思维。引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力。因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。

比如，在立体几何中异面直线距离的概念，传统的方法是给出异面直线公垂线的概念，然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教学可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如两点之间的距离，点到直线的距离，两平行线之间的距离，引导学生思考这些距离有什么特点，发现共同的特点是最短与垂直。然后，启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们间的距离是最短的？如果存在，应当有什么特征？于是经过共同探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长是最短的，并通过实物模型演示确认这样的线段存在，在此基础上，自然地给出异面直线距离的概念。这样做，不仅使学生得到了概括能力的训练，还尝到了数学发现的滋味，认识到距离这个概念的本质属性。

2. 挖掘概念的内涵与外延，理解概念

新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；（3）任意角的三角函数的定义。可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”，重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，有利于学生理解概念。

3. 寻找新旧概念之间联系，掌握概念

数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量，平面角与空间角，方程与不等式，映射与函数等，在教学中应善于寻找，分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。再如，函数概念有两种定义：一种是初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数值对应起来；另一种高中给出的定义，是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，函数可用图像、表格、公式等表示，所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。认真分析两种函数定义，其定义域与值域的含义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，所以两种函数的定义，本质是一致的。当然，对于函数概念真正的认识和理解是不容易的，要经历多次接触的、较长的过程。

4. 运用数学概念解决问题，巩固概念

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数学概念又具有抽象与具体的双重性。数学概念既然代表了一类对象的本质属性，那么它是抽象的。以“矩形”概念为例，现实世界中没见过抽象的矩形，而只能见到形形的具体的矩形。从这个意义上说，数学概念“脱离”了现实。由于数学中使用了形式化、符号化的语言，是数学概念离现实更远，即抽象程度更高。但同时，正因为抽象程度愈高，与现实的原始对象联系愈弱，才使得数学概念应用愈广泛。但不管怎么抽象，高层次的概念总是以低层次的概念为其具体内容。且数学概念是数学命题、数学推理的基础部分，就整个数学体系而言，概念是一个实在的东西。所以它既是臭抽象的又是具体的。

数学概念还具有逻辑联系性。数学中大多数概念都是在原始概念（原名）的基础上形成的，并采用逻辑定义的方法，以语言或符号的形式使之固定。其他学科均没有数学中诸概念那样具有如此精确的内涵和如此丰富、严谨的逻辑联系。

数学概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环。一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特别是像我校这样普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此抓好概念教学是提高中学数学教学质量的带有根本性意义的一环。教学过程中如果能够充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机，以提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的，同时，数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件以及必要保障。

从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的、零碎的认识。这样久而久之，从而严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握和运用。比如有的同学在解题中得到异面直线的夹角为钝角，有的同学认为函数与直线有两个交点，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的。只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能有正确、合理、迅速地进行运算，论证和空间想象。从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。

二．数学概念的教学形式

1．注重概念的本源、概念产生的基础，体验数学概念形成过程

每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主让学生“占有”新概念，使学生处于被动地位，使思维呈依赖，这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在数学概念教学中培养学生的创造性思维。引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。

”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力，因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。 转贴于

比如，在立体几何中异面直线距离的概念，传统的方法是给出异面直线公垂线的概念，然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教学可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如两点之间的距离，点到直线的距离，两平行线之间的距离，引导学生思考这些距离有什么特点，发现共同的特点是最短与垂直。然后，启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们间的距离是最短的？如果存在，应当有什么特征？于是经过共同探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长是最短的，并通过实物模型演示确认这样的线段存在，在此基础上，自然地给出异面直线距离的概念。这样做，不仅使学生得到了概括能力的训练，还尝到了数学发现的滋味，认识到距离这个概念的本质属性。

2．挖掘概念的内涵与外延，理解概念

新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：

（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；

（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；

（3）任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出：1、三角函数的值在各个象限的符号；2、三角函数线； 3、同角三角函数的基本关系式； 4、三角函数的图象与性质；5、三角函数的诱导公式等。可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”，重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，有利于学生理解概念。

3．寻找新旧概念之间联系，掌握概念

数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量，平面角与空间角，方程与不等式，映射与函数等等，在教学中应善于寻找，分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。再如，函数概念有两种定义，一种是初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数值对应起来；另一种高中给出的定义，是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，函数可用图象、表格、公式等表示，所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。认真分析两种函数定义，其定义域与值域的含义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，所以两种函数的定义，本质是一致的。当然，对于函数概念真正的认识和理解是不容易的，要经历一个多次接触的较长的过程。

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我国新一轮的基础教育课程改革正在进行，它要求教师改变传统的教学方式，确立一种新的教育观念。数学史为我们的数学教学改革提供了一个新的视角，数学史融入中学数学课堂教学这一问题受到越来越多的关注[1].

1.数学史融入中学数学课堂教学的作用

1.1激发学生的学习兴趣

数学在学生心目中是一门非常抽象的、枯燥的学科.究其原因会发现，在传统教学中，学生学习知识只是进行简单的记忆和推理，不知道定理和公式的由来，有的老师常常会说“这是规定”，打消了学生的好奇心，久而久之学生就失去了对数学的兴趣.“兴趣是最好的老师”.有教育专家指出：一个能激起学生学习兴趣、使学生对数学着迷的教师才是最优秀的教师.通过介绍数学史中与数学知识相关的趣闻逸事能激发学生的学习兴趣，一旦有了兴趣，学生就会主动去学习.

1.2有助于学生更好地理解数学

数学史中记载了许多数学知识的产生、发展过程，把数学史融入数学教学让学生身临其境般地感受数学的发展，从而更深入地理解数学.运用数学史，让学生能够理解蕴含在数学知识中的思想方法的来源，使知识的脉络更加清晰，便于学生理解、记忆[3].例如刘徽在《九章算术》中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积的基础，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆.他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣！”这是朴素的极限思想.适当地讲解这些知识，不仅开阔了学生的眼界，而且拓展了学生的思维，从而让学生更好地理解数学.

1.3有利于培养学生的坚强意志和探索精神

在解决数学问题的过程中，数学家表现出的刻苦钻研的精神、顽强的意志力、敢于坚持真理的品质深深地感染着学生，在培养学生的坚强意志和探索精神方面发挥着很好的作用.培养学生的坚强意志和探索精神最直接的办法就是给他们讲人物事迹.例如：华罗庚初中毕业后因家境贫穷无法继续上学，但他并没有悲观气馁，而是发奋自学，成为伟大的数学家，为祖国争得了荣誉；数学王子高斯在没有保证研究结果绝对正确之前，绝不发表，这样的坚持真理的精神值得我们学习；牛顿、欧拉、陈景润等数学家的事迹也都是很好的素材.

1.4提高学生的审美能力

英国数学家罗素说：“数学不但拥有真理，而且具有崇高的美，是一种冰冷而严肃的美，不像绘画或音乐那样有华丽的服饰，它可以纯粹到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境地.”[4]古希腊数学家普罗克洛斯断言：“哪里有数，哪里就有美.”翻阅数学史，可以发现数学史是一门美的科学，它本身就展示了数学家创造数学的活动，数学作为一种创造活动具有艺术的特征，这就是对美的追求.数学史中蕴涵着许多美的宝藏，在数学课堂教学中融入数学史知识渗透审美教育，对学生审美能力的提高起着重要作用.例如：毕达哥拉斯认为，圆是最美丽的平面图形，球是最美丽的立体图形，因为他们在每个方向上的图形都是对称的，加法和减法、乘法和除法、指数和对数、微分和积分也都充满了对称美.函数符号经过数学家的不断修改得到y=f（x）这一简单表达式，体现了简洁美.我们可以从数学史料中挖掘一些审美的好题材，以更好地对学生进行审美教育，提高学生的审美能力.

2.数学史融入中学数学课堂教学的策略

张奠宙先生提出了应用数学史将数学的“理论形成”转化为“养成教育”的途径：

①揭示数学发展的规律，形成正确的数学观；

②返璞归真，揭示数学发展的过程，并使之适合今天的课堂教学；

③提供真实的历史材料，包括原始问题、原始论据、原始过程，增强真实感，体现数学的人文精神.

以上三点为数学史的运用指明了方向，在实际教学过程中，数学史融入教学的方式有很多.下面以运用数学史的教学案例展示数学史融入中学数学课堂教学的策略.

2.1在导入新课中运用数学史

在课堂教学中，导入课题是一个很重要的环节，引入新课的方法是多种多样的，如果有与教学内容相关的数学史资料，不妨利用数学史引入，能引起学生的注意，激起学生的求知欲.

例如无理数的引入.先介绍它的历史发展：古希腊时代毕达哥拉斯学派的成员希伯索斯在用勾股定理计算边长为1的正方形的对角线时，发现对角线的长度是一种从来没见过的“新数”，打破了该学派所信奉的“万物皆数”的信条，引起了人们极大的恐慌，这件事在数学史上被称为第一次数学危机.因为发现和研究这一“新数”，希伯索斯被投入海中处死.那么他到底发现的是一种什么样的数呢？

2.2在概念教学中应用数学史

讲解某个数学概念时，适当讲述概念的发展历史，能使学生从整体上掌握概念.数学史家M・克莱因坚信历史是教学的指南，他为此对美国的“新数运动”进行了批判：数学家花了三百年的时间才理解复数，我们却直接告诉学生复数是一个有序实数对.这种“强加”式的教学不利于学生对概念的理解，每个数学知识都有它的起源、发展，以及数学家为之付出努力的佚事，如果介绍数学概念的发展史进行概念教学，能更好地帮助学生理解数学概念[5].

例如，复数概念教学.首先提出问题：先让学生解方程x -10x+40=0.学生发现此方程的根的判别式Δ=10 -4×40=-60

其次，介绍复数发展的历史背景：数的概念是在实践中发展起来的，在原始社会，由于计数的需要，人们建立了自然数的概念.随着科学的发展，数也得到了发展，为了表示相反意义的量，引进了负数.为了解决分配中遇到的将某些量等分的问题，人们引进了有理数，它们就是一切形如 的数，其中m∈z，n∈N，n≠0，这样，就把整数集扩大到有理数集.为了解决量与量之间的比值不能用有理数表示的矛盾，又引进了无理数.从解方程x -10x+40=0，发现方程没有实数解，原因是负数不能开平方，为了解决这个问题，引进了虚数.12世纪，印度数学家婆什伽罗在研究方程过程中注意到了负数的开平方问题，他指出：“正数、负数的平方都是正数，因此，一个正数的平方根是一个正数和一个负数，负数没有平方根，因为负数不是平方数.”当时他并没有意识到“负数的开平方”背后隐藏着巨大的数学奥秘，他的一句肯定的话遏制了后人对这一问题进行探索的愿望，以至于在很长的时间里，各国数学家对这个问题都采取了回避的态度.直到1545年，“负数平方根”重新引起了关注，数学家卡丹在求解“把10分成两部分，使其乘积等于40”的问题（相当于求方程x -10x+40=0）时，果断将10分为5+ 和5- ，当时让人感到不可思议.但利用它，这个方程就可以迎刃而解了.整个17世纪，许多数学家已经在解方程中开始应用虚数，其中，笛卡尔在1632年首次给出虚数的名称，意为虚构的，不存在的，但大多数人对虚数作为数持怀疑态度.直到18世纪挪威的测绘员韦塞尔和法国的会计师阿尔甘借助笛卡尔的平面直角坐标系，对复数做出了让人信服的解释，终于揭开了虚数的神秘面纱.到了19世纪，复数应用日益广泛，复数的概念才最终得以确立.

最后，得出复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数被称为复数.当b=0时，就是实数；当b≠0时，叫做虚数，当a=0，b≠0时，叫做纯虚数；a与b分别叫做复数a+bi的实部和虚部.

数学史在中学数学课堂教学中有着非常重要的作用，把数学史融入数学课堂教学不是简单的介绍或移植，而是把数学史的理论研究转化为实践的过程，数学史融入中学数学课堂教学的案例尚须丰富.

参考文献：

[1]汪晓勤，张小明.HPM研究的内容与方法[J].数学教育学报，2006，15（1）：16-18.

[2]朱家生.数学史第二版[M].北京：高等教育出版社，2011.

篇13

一，构造性数学的产生与发展

构造性数学是现代数学研究的一个重要领域。它的根本特征就是对可构造性的强调。所谓可构造性是指能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法。即当我们把能证实“存在一个X满足性质A”的证明称为构造性的，是指能从这个证明中具体地给出满足性质A的一个x；或者能从此证明中得到一个机械的方法，使其经有限步骤后即能确定满足性质A的这个x来。反之，经典数学（非构造性数学）中的纯存在性证明被称之为非构造的。非构造性证明主要是通过使用反证法来实现的。人们一般把这种强调可构造性的数学称为构造性数学。

构造性数学最早起源于一种构造性哲学思想，这种思想可以追溯到康德那里。康德认为，数学的最终真理性在于数学概念可以通过人的智慧构造出来。他说：“数学必须根据纯粹直观，在纯直观里它才能够具体地，然而却是先天地把它的一切概念提供出来，或者像人们所说的那样，把这些概念构造出来”。又说“数学知识是从概念的构造得出来的理性知识。构造一个概念，意即先天地提供出来与概念相对应的直观。”（〔1〕，第39页）后来，19世纪德国的克罗内克进一步指出：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”主张自然数与数学归纳法是数学最根本的和直观上最可信的出发点，其它一切数学对象都必须能在有限步骤内从自然数中构造出来，否则就不能作为数学对象。由此克罗内克把许多数学成果划到不合法的行列里，如无限集合、纯存在性证明等。但由于他批判的多建设的少，故其思想在当时并未产生很大影响。另外，彭加勒、勒贝格等大数学家也都是倡导构造性数学研究的有名人物。但是，所有这些人提倡的大都只是一种数学哲学的思想，他们实际的数学工作并未严格地遵循自己的哲学思想。因此，现代意义的构造性数学应以布劳威尔的直觉主义数学为开端，迄今，在构造性数学的研究领域里，由于宗旨、观点和方法的不同，已经形成了一些不同的学派。最著名的除了布劳威尔的直觉主义数学以外，还有希尔伯特的元数学、毕晓普等人的构造性数学以及马尔科夫的算法论等。布劳威尔的直觉主义数学和希尔伯特的元数学，我国数学哲学界普遍比较熟悉，故本文不再表述。这里我们仅就后来发展起来的毕晓普、马尔科夫的构造性数学作些简述。（〔2〕、〔3〕第101—109页）

以毕晓普、迈希尔等人为代表的构造性数学是一个与早先直觉主义数学齐名但又不同于它的新的构造性数学。他们的构造性数学研究是在数学领域中，用普通逻辑于可编码的对象和递归函数。他们所关心的不是数学的奠基问题，而是要用构造性方法来研究数学。他们把构造性数学看成古典数学的一个分支，在这个分支中所讨论的对象都要求是可计算的。以毕晓普的工作为例，他认为只证明一个数学对象在逻辑上必然存在是不够的，还必须拟定一种有限而机械的办法把这个对象构造出来。他不用非直观的概念来重建数学，而是从标准的算术规则和有理数出发，通过避开“理想”观念并不断地检验从直观生成的对象和定理，逐步地进行构造，以求得数学的可信性。他与布劳威尔不同，他不去全盘地否定康托的集合论，而是把它加以改造，使之具有构造的合理性。如确定一个集合，原来康托的朴素定义只要求给出一个判别集合中元素的规则即可，而毕晓普认为还应要求拟定出一个办法来真正构造集合的一个元素并证明集合中两个元素是不同的。这样，则可使康托集合论中的一条最有争议的公理——选择公理成为完全可以接受的了。他们把经典数学的基本概念算法化，并从而考虑哪些定理在构造意义下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此发展出相当大的一部分有价值的数学。1967年毕晓普的《构造性分析》的出版，标志着这一新的构造性数学的建立，而随后《构造性泛函分析》的问世，则表明了这一领域的新进展。

构造性数学的另一个新体系是由马尔科夫、沙宁创建的。他们的构造性数学研究是以算法概念为基础的，即把其它一切概念都归约到算法之上。在马尔科夫那里，所有的定义都用日常语言表达，所有引用实无穷的话都严格地避免，并采用了直觉主义逻辑。他们对构造分析学作了相当深入的研究，对于许多数学分支的算法化以及制定构造逻辑的语义学都作了很可观的工作。如他把实数定义成一种逐次逼近的算法，实函数也就等同于一个算法。他的正规算法就是目前少数几个力量最强的精确化的算法概念。

以毕晓普、马尔科夫等人为代表的构造性数学，是对早先直觉主义数学的发展、扬弃。它一方面承继了直觉主义的基本主张，强调在构造数学内部要求“证明存在一个具有性质P的x，必须指出一个有限的方法来构造x，以及找出一个有限的方法来证明x具有性质P”。但另一方面，它又不同于直觉主义数学，它不象直觉主义数学那样极端地要把全部数学都“构造化”，他们只是想从构造性的角度建立一门有别于传统数学的新学数学，因为在他们看来，从构造的观点来研究，对许多老问题都会有新的见解。他们认为构造性数学和非构造性数学是现代数学的两大倾向，是可以并行发展和相互促进的。

二构造性数学的原则与基础

如前所述，对可构造性的强调是构造性数学的根本特征，其实也可以说，这就是构造性数学的基本数学原则。它要求一个关于“存在一个具有性质P的x的证明”，必须解释x的构造是怎样实行的。这与通常“纯粹存在性证明”的做法不一样，在那里，一个具有性质P的x的存在性是通过采用指出假设“x不存在”就会导致矛盾的办法来证明的。从构造性的观点看，后一证明只是表明“x不可能不存在”，但是它并未给出寻找x的办法。此外，甚至有了这样一种办法，构造主义者还必须采取一些附加的构造性办法来证明x具有性质P。因此，仅仅证明如果x不具有性质P就会导致矛盾是远远不够的。为了充分认识构造性数学与非构造数学之间的这种戏剧性差别，我们有必要用一个例子给予说明。如代数基本定理：

任何复系数的非常数多项式f至少有一个复根。（Ⅰ）

对于（Ⅰ）最著名的非构造性证明是，假设f不取零值，把刘维尔定理用于f的倒数，得出1／f是常数，于是f是常数，矛盾，证明完成。从构造的观点看，这里证明的并不是代数基本定理，而是较弱的命题：

不取零值的复数上多项式是常项。（Ⅱ）

因为上述证明不能帮助你计算100阶多项式的根，它没有给出多项式求根的方法。但是布劳威尔却对于首项系数为1的多项式的代数基本定理给出了一个构造性的证明（证明的大体思路可参见文〔4〕）。有了这个证明，就可以求任意阶（如100阶）多项式的根了。

应该指出，每一个构造性证明也是同一命题的一个经典证明。布劳威尔的证明也是代数基本定理的一个经典证明。尽管布劳威尔的证明确实比用刘维尔定理的证明更长，但它也告诉了我们更多的信息。代数基本定理在构造性数学中被布劳威尔解释成：有一个适用于任何复系数的非常数多项式f的有限方法，我们能够用以计算f的根。

以上只是我们例举的一个例子，其实每一个经典定理都是向构造性数学提出的一个挑战：找出一个构造性的说法，并给它以一个构造性的证明。然而在多数情况下，找出经典定理所对应的构造性内容绝非易事。许多经典的定理至今也看不出将其进行构造性改造的途径，如佐恩引理等。故在构造性数学内部不得不暂时将这些有意义的经典数学内容排斥在外。但应指出，这种排斥并非逻辑的、必然的排斥。

另一个重点问题是构造性数学的数学基础问题。这是一个涉及构造性数学的可靠性，以及可构造性何以能够得以实现的重要问题。对此我们分两部分来谈。

首先，我们来看直觉主义数学的数学基础。众所周知，直觉主义数学是以自然数理论为其数学上的出发点。因此对于直觉主义数学的建构来说，首要的问题就是如何依据构造的标准在自然数的基础上建立起它的实数理论，因为实数理论是整个分析学的基础。有理数的构建是容易的，只要把有理数作为整数对引进即可。关键是如何在构造意义下给出实数和实数连续统的概念。为了构造实数概念，布劳威尔首先独创了“属种”的概念以取代康托集合概念。所谓属种就是按照构造性的标准重新定义的一种集合：它等同于已构成的数学对象所可能具有的一种性质，依据这一性质，我们可以有效地去确定这些对象是否属于这一“属种”。进一步布劳威尔引进了“选择序列”的概念：“在任何时刻，一个选择序列a系由一个有穷的节连同对它的延伸的若干限制组成”。如此，布劳威尔便以“有理数选择序列”取代了经典分析中的有理数柯西序列概念，并称之为“实数生成子”。于是构造意义下的单个实数就被定义为实数生成子的一个等价属种。实数连续统的概念建构的比较晚，直到1919年，布劳威尔才利用“展形”概念巧妙地建构了符合构造性要求的连续统概念（具体的建构方法可参见〔5〕第168—170页）。在那里，每个可能的选择序列就是一个可构造意义下的单个实数，而整个展形就是可构造意义下的实数连续统，两者是同时构造出来的。所谓展形，实际上也就是一种“自由选择序列”——其中没有对元素的生成作任何限制，而只是要求这种延伸能按照自然数的次序进行下去。这样，作为这种自由选择的结果就不只是某个特殊的序列，而是各种可能的序列。实数理论的重构，为直觉主义数学的展开奠定了基础。

至此，或许有人会认为直觉主义数学的基础已经得到圆满的重构和解释，其实不然，因为直觉主义者对其一直强调的“可构造性”始终没有给出一个明确的解释。直觉主义者外尔就曾认为：“反唯象论的构造方法的成功是不可否认的。然而它所依据的最终基础仍是一个谜，甚至在数学中也是如此。”（〔6〕，第112页）人们对于什么是“直觉上可构造的”这一根本性概念有着不同的理解。如有的构造主义者认为，真正的数学是不应包含“否定”概念的，因为任何否定性的命题（按布劳威尔、海丁的解释，命题一p就意味着“我们给出了这样一种构造。由证明p的构造出发就会得出矛盾”），都假设了一个不可能实现的构造（证明p的构造）。另外，也有的直觉主义者对前面提到的“自由选择序列”（展形）提出了怀疑，但不借助这一概念直觉主义的实数理论就无法得到重建。之所以人们对什么是直觉上“可构造的”没有一个统一的认识，其原因就在于“可构造的”只是一个不精确的日常用语，因而会被不同的人作不同的理解。尽管在直觉主义者看来，这一概念是无需解释的，也是不可解释的，但在非直觉主义者看来，却有着进一步解释的必要。这里我们仅简单地介绍克林的解释。如所周知，直觉主义概念全部都被归约为一个基本概念，这就是“构造”。然而直觉主义者只是隐蔽地使用了这个概念，克林等人的解释就是要把这种隐蔽的归约公开化。由于整个解释过程繁长，故只给出其结论（详见〔3〕第97—98页，〔7〕第545—551页）。克林的结论是：直觉主义的构造等同于部分可计算函数。进一步，按他的解释，布劳威尔的“自由选择序列”不过是任意的序列；布劳威尔的函数则是部分可计算函数。克林指出，只有存在相应递归函数的公式才能在直觉主义系统内证明。由此，直觉主义数学的基础就被克林归约到相递归函数或可计算函数之上了。另外，哥德尔对构造性也作了类似于克林的解释，不过哥德尔可容许构造的类要宽得多，他不是把构造等同于可计算函数，而是等同于可计算泛函（〔3〕第99—100页）。

下面我们再来看看后期构造数学的基础。直觉主义数学之后的构造性数学表现出多元的倾向，它们容许的数学对象也更宽，采取的构造性方案也各有特点。这里我们无意对它们的细节进行考察，只是想简要地分析一下各自的数学基础。斯派克是直觉主义数学之后较早表现出构造性倾向的数学家之一，他在1949年就考察了一类较窄的实数，他称之为原始递归实数。它以（1／2）［n］的精度来逼近：

（附图）

其中f′、f″、g均是原始递归函数。他还考虑了其它各种类型的逼近，如用级数Σf［，（n）］／g［n］部分和来逼近。罗宾逊（1951年）、里斯（1954年）等后来又给出了更广一类的实数，称为可计算实数，也是利用递归函数进行逼近而得出的。不过为了建立构造性分析学，更主要的是要给出构造意义下的函数乃至泛函的概念。巴拿赫和马祖尔在1959年给出了一个叫可计算实变函数的概念（〔3〕第103页）。克林也考虑了一类部分可计算泛涵，这些泛函使每个函数f都与一相对于f可计算的部分函数相关联。到了60年代，构造性数学有了一个大的发展。首先迈希尔与德克创立和发展了一种整数集的递归等价物的理论，这个理论的特点是用整数集换任意集，用部分递归映射换任意映射。1967年毕晓普出版《构造性分析》，开创了构造性数学的新时期，而他的构造性数学的根本特征就是把一切数学对象都化归为可编码的对象和递归函数。后期构造性数学中另一个体系是马尔科夫、沙宁创建的算法概念为基础的理论。他们采纳的也是构造性逻辑，但他们把一切概念都归约为算法这个概念。马尔科夫提出的正规算法就是目前知道的最有力量的少数几个算法之一。现已证明，正规算法与前面提到的递归函数或可计算函数都是等价的。这样一来，我们便就可以不作区分地讲，构造性数学的基础是递归函数或算法。

综合上述，我们认为，构造性数学的基础归根到底是递归论。或者说，所谓构造性、可构造的与递归性、可递归的是相互等价的。这就是我们对构造性的理解。有了这样一种解释，我们也就基本了解了“构造性”的真实涵义。尽管从哲学上讲，它可能还具有更深刻更丰富的内涵，但从实践、操作的角度讲，它就是递归性，进而也就是能行性。

三、构造性数学的意义及其它

在对构造性数学的意义作出评述之前，有必要先弄清楚以下两个问题：1．构造性数学产生的原因是什么？2．构造性数学所要解决的问题和所要达到的目的是什么？

在经典数学如此成功的情况下，为什么还会出现构造性数学？构造性数学产生的原因是什么？这确实是对构造性数学进行哲学研究所必须回答的一个问题。我们认为，原因主要有以下四个方面：一、为了解决由于集合悖论的出现而引发的第三次数学危机。这是布劳威尔直觉主义数学产生的直接原因。对此，大家已比较熟悉，无须多言。然而这只是一个表层的原因，事实上还有以下更深刻的哲学原因。二、为了解决数学概念和方法的可靠性问题。由于集合悖论的出现，使得直觉主义者的注意力一下子集中到什么是可靠的或可信的数学这个问题上。他们认为“存在必须被构造”。因此，只有经过构造性检验的数学才是可靠的。这样一种认识论主张，是构造性数学产生的根本原因。三、纯存在性证明的局限性是构造性数学、尤其是后期构造性数学产生的重要原因。大家知道，纯存在性证明只能让人知道某个方程的根是存在的，但如何求解以至能不能求出这个根均是未知的。构造性数学就是针对纯存在性证明的这个缺陷，提出要证明一个方程的根是存在的，就必须给出求解它的有效方法。四、从构造性数学的角度看经典数学，会产生许多新的见解、新的方法，这不仅可以获得对数学更深刻的认识，而且可以促进两类数学的共同发展，这是后期构造性数学产生的又一原因。以上这些原因概括起来也就是两点：一、经典数学本身的不足；二、“存在必须被构造”的认识论信念。我们认为，正是这两个根本原因，引发了在本世纪产生的构造性数学。

从对构造性数学产生原因的以上认识，不难看到，早期构造性数学所要解决的就是数学基础问题，所要达到的目的就是确立数学的可靠性。后期构造性数学的目的没有这么强，它们不再去解决数学的基础问题，而只是用构造性方法来研究数学，建立一门与经典数学平行的构造性数学。在数学可靠性问题上，尽管后期构造主义者并不完全赞同布劳威尔的哲学主张，尤其是“原始直觉”观念，但他们还是吸取了“存在必须被构造”的可靠性观念。因此，确立数学的可靠性依然是后期构造性数学的目的之一。那么构造性数学是不是解决了它想要解决的问题呢？通过对这个问题的回答，可以看到构造性数学的重大意义和特殊价值。我们先来看看早期构造性数学是不是解决了数学的基础问题。或许有人会对此问题的提出感到奇怪，不是早就说直觉主义同逻辑主义和形式主义一样都已失败了吗？其实问题并非如此简单。尽管在人们为数学大厦寻找基础的一个世纪以来，直觉主义已遭到世界数学界多数人的反对，但它的“失败”不同于与其齐名的逻辑主义、形式主义的失败。后两者的失败是逻辑地注定了的失败，而直觉主义的“失败”仅仅是因为其“过于谨慎而一时”地拒斥了许多被认为很有意义的经典数学，它在逻辑上并没有被宣告失败。现在完全追随布劳威尔的人几乎没有了，但新的构造性数学的发展正方兴未艾。如果这类构造性数学能够取得全面的突破性的大进展，谁又能保证直觉主义数学不会“卷土重来”？事实上，相信构造性数学可能会获得成功的人是始终存在的，且不说构造主义者本身，非构造主义者，如克林也相信：直觉主义地重建经典数学的可能性还是存在的（〔7〕第55，551页）。由此我们认为，构造性数学依然是重建数学基础的一个可能的途径。那种认为直觉主义计划已彻底破产的认识是过于武断的。

后期构造主义者试图建立一门与经典数学平行的构造性数学，我们认为这一计划正在实现的过程中，近来构造性数学成果的不断涌现就是证明。构造性数学产生的意义，不仅在于出现了一门新的理论、开创了一种新的研究方向，并获得了许多新颖、深刻的成果，同时也在于构造性的成果更便于应用。提供解法毕竟比单纯的存在性证明要有意义得多。由此可以说，构造性数学弥补了经典数学的不少缺陷。联系到计算机科学的发展，这种构造性数学的研究就更有其深远意义了。无怪胡世华教授说：“在非构造性数学的研究中，构造性成分越多的部分往往对自身的发展也越有意义”。（〔8〕第268页）

进一步，构造性数学是否达到了它最初的确立数学可靠性的根本目的呢？由于数学的可靠性问题已远远不是一个单纯的数学技术问题，更主要的是一个哲学问题，因此对这个问题的回答不可能有一个终极答案，对构造主义者的回答人们也会仁者见仁，智者见智。故这里我们只是给出自己对这一问题的一些看法。我们认为，在哲学上，构造性数学的产生提出了一个新的“可靠性”观念。直觉主义者认为，一切非构造的存在，都是“超出一切人类的真实可行的‘绝对’，”正是因为相信了这样一种“绝对”，经典数学才“远远地不再是有真实意义的陈述句以及不再是建基于明证之上的真理了。”（〔7〕第50页）为此，直觉主义者强调：存在必须是被构造。认为只有一步一步（有限的）构造出来的东西才是真实的、有意义的、可靠的。他们把经典数学中的“纯存在”视为一种无异于形而上学的东西。黑丁就曾明确指出：“如果‘存在’不是意味着‘被构造’，那就一定包含某种形而上学的意义。”（〔9〕第241页）在黑丁看来，对这种具有形而上意义的存在去讨论，或判定它是否可以接受，这不是数学的任务，认为应该“把数学当作某种比形而上学简单得多、直接得多的东西来研究”。为此，直觉主义才突出地强调应从非构造性向构造性化归。我们认为，这是在从数学认识论上提出了一种新的可靠性标准或观念。这种标准或观念从实用或操作的意义上讲，是颇具合理性的，是应该得到采纳的，它对“信息时代的数学”（胡世华语）的发展是很有意义的。当然，这也并不妨在经典数学中人们有时（即不得已时）可以采用更灵活的可靠性标准。但我们认为，可构造性是一个更可靠的可靠性标准，应该成为数学家和哲学家评判数学可靠性的第一标准或最高标准。至于第二、第三等更灵活、更弱的标准，不同的数学家和哲学家可能会有不同的选择。那么何以见得可构造性就是更强的可靠性标准呢？构造性数学就真的比经典数学更为可靠、更具可接受性吗？我们认为，答案应该是肯定的。道理很简单，就是因为构造性数学的原则远较非构造性数学严格，构造性数学成立的每一定理对于非构造性数学也成立；反之，非构造性数学中成立的定理却不一定在构造性数学中成立。因此，构造性数学实际上成了非构造性数学的一个真子集。另外，从逻辑基础的角度讲，直觉主义逻辑的公理和定理在经典逻辑中都成立，反之却不然。因此，直觉主义逻辑是经典逻辑的一个真部分。我们认为，这些理由完全可以表明，以构造性为可靠性标准而建立的定理比经典数学中的定理更可靠。

我国数学哲学界对构造性数学及其哲学主张评价普遍较低，其原由不外乎这么几点：1．直觉主义数学排斥了一大部分具有应用价值的经典数学。2．排斥了实无穷和经典逻辑。3．与经典数学相比，构造性数学显得繁琐和复杂，对经典数学的构造性改造极为缓慢，难以成功（甚至认为是不可能的）。我们认为，这些并不构成对构造性数学及其哲学主张的否定。对此可以简要地分析如下：首先，构造性数学是一门全新的数学理论，它的逻辑基础、数学原则和哲学主张不可能完全等同于经典数学。因此，我们必须正视构造性数学的独特性。有什么理由说，选择实无穷就是对的，而选择潜无穷就是错的？又有什么理由说，选择经典逻辑就是科学的，选择构造性逻辑就是不科学的？我们没有超越实无穷和潜无穷的“绝对无穷观”，也没有超越经典逻辑和构造逻辑的“绝对逻辑”，我们没有终极的绝对的参照系。实际上，反对潜无穷只能是站在实无穷的立场上，反对构造性逻辑也只能是站在经典逻辑的立场上。但反过来也是可以的。因此，我们最后判别是非的立足点只能是实践——数学的内部实践和外部实践。不管是实无穷、潜无穷，也不管是经典逻辑、构造逻辑，只要以它们为基础能够建立起自相容的理论，并能够得到有效的应用，那么我们就要承认它们。说构造性数学显得繁琐和复杂，这也不是绝对的，如复分析中对毕卡大定理的构造性证明就显得更为直观，它的非构造性证明虽然较短，但却利用了一种称为椭圆模函数的较高深的数学工具，后来虽然也有了几种浅显的证明方法，可又都非常繁复，而相应的构造性证明却要更加自然，只用到了解析函数的基本性质。说构造性数学进展缓慢、难以成功，这并不意味着构造性数学不能成功。何况它在内容上的复杂和进展上的缓慢是有原因的：每一个构造性证明都比纯存在性证明为我们提供了更多更实用的信息。因此我们把构造性数学的复杂和缓慢看作是为了获得更多更实用的信息所必须付出的代价。应该承认，这种代价的付出是值得的。至于说到直觉主义数学排斥了一部分有价值的经典数学，我们说这并非直觉主义数学的过错，因为对部分经典数学的排斥并非逻辑地注定了的，谁又能保证这不是由于对经典数学的构造性改造太慢而造成的呢？如果是这样，今天被排斥的东西到明天就不会再排斥。如果排斥是必然的，则正说明构造性数学的独特性，说明数学具有构造性和非构造性两个不同侧面，说明这两种数学确实存在不可化归的关系。

也许会有许多人说，他们反对的只是直觉主义的哲学主张。在我们看来，直觉主义哲学除了它所主张的潜无穷观和构造性逻辑外，就是这么两点：一、存在必须被构造；二、原始直觉是数学的基础。关于潜无穷观和构造性逻辑前面刚刚谈过，不再重复。一些人对直觉主义者把可构造性作为数学理论可靠性的标准表示反对，前面我们也进行了反驳，并指出了可构造性是更强、更可靠的可靠性标准。至于提到“原始直觉是数学的基础”这一哲学主张，我们认为首先应该区别它的两种不同涵义：一是从数学发生学的角度讲，数学是产生于人类的原始直觉，原始直觉是产生数学的基础。二是从数学认识论的角度讲，数学的可靠性根源于人类的原始直觉，原始直觉是保证数学可靠性的基础。我们认为，直觉主义者在讲“原如直觉是数学的基础”时，包括了上述两层意思。不过我们认为，上述两层意思中，前者是可接受的（对此我们将另文专论），后者是错误的。原因正如波普尔所说：相信知识在发生学或心理学上是先验的，这是对的；但认为知识都能先验地正确，就大错特错了。源于人的直觉的数学，如果没有被逻辑地构造与证明，它就没有获得必要的可靠性。但联想到直觉主义者随时都在强调可构造性，因此他们在哲学上的一些错误并不会影响到其数学的可靠性。说直觉主义哲学大体上是可接受的，还有一个有力的理由，即在这种哲学主张的基础上而建立起的直觉主义数学，并未象经典数学那样一再地发生危机——出现悖论，它是自相容的。

美籍华人王浩先生曾认为，构造性数学是做的数学，非构造性数学是在的数学。对此，我国著名数学家胡世华先生给予了如下的解释和进一步的发挥：“数学的在是信息模式和结构的在；数学的做是信息加工。构造性数学的倾向是用数学取得的结果把结果构造出来，侧重于思维的构造性实践，非构造性数学的倾向是数学地理解问题和规律，建立数学模型，形成数学理论体系，追求科学思想”。（〔8〕第267页）我们认为，这些看法是比较客观的。但应进一步指明的是，构造性数学并非像许多人认为的那样，总是直接因袭标准的非构造性数学。事实上，构造性数学不是命中注定永远要靠坐吃经典数学这个老板来发展。这两类数学的关系是共生性，而非寄生性的。构造性数学的发展还不足百年，相信它在未来的发展中，会有一个又一个的重大突破。当然这已是后话了。

参考文献

〔1〕康德：《未来形而上学导论》，商务印书馆1978年。

〔2〕《中国大百科全书（数学）》有关条目。

〔3〕莫斯托夫斯基：《数学基础研究三十年，华中工学院出版社，1983。

〔4〕D.Bridges、R·Mines：“什么是构造数学？”《数学译林》1986年第4期。

〔5〕徐利治：《数学方法论选讲》，华中工学院出版社，1983年。

〔6〕外尔：“半个世纪的数学”载《数学史译文集》（续集），上海科技出版社，1985年。