初中数学逆向思维范文

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例1：a为何值时，方程a/（x+1）-1/（1-x2）会产生增根？

分析：此题按常规思路考虑，运算量大，不易求出a的值，如运用逆向思维――反推发就能简便的得出a的值。

解：若原方程有增根，则增根必须是x=1或x=-1，由增根意义可知，x=1或x=-1是原方程去分母后得到的整式X2+aX+a-2的根，当x=1时，-2≠0，当x=-1时，2a=1，即a=1/2，所以a=1/2时，原方程会产生增根。

例2：已知m≠n且m，n满足m2-5m+2=0，n2-5n+2=0求n/m+m/n的值.

分析：解此题的常规方法就是根据解一元二次方程，分别求出题中的两个方程中的未知数M和N的值，再把值带入未知式。但是这样做的工作量很大，M和N各有两个根，需要代入计算四次。所以我们可以利用逆向思维，首先考虑未知式，对它进行化简，再根据根与系数的关系进行解题，具体步骤如下

解：由题设逆用方程的根的概念，也就是说m，n是方程x2-5x+2=0的两个根，由根与系数的关系可知：m+n=5，mn=2，所以.

例3：已知a，b，c是实数，a〉b〉c，且a+b+c=0，求证：抛物线y=aX2+bX+c开口向上。

分析：此题从正面无法下手解决问题，若运用“反证法”，就有出人意料的效果。

证明：因为a≠0，假设抛物线开口向下，则a〈0。又因为a〉b〉c，所以b〈0，

c〈0，此时与a+b+c=0相矛盾。因此假设不成立，即抛物线y=aX2+bX+c开口向下。

二、几何证明题中渗透逆向思维

例1：在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点.

求证，MN与PQ互相垂直平分.

分析：要证明MN与PQ互相垂直平分，我们可以把构建成MN与PQ四边形正方形或菱形的对角线，具体方法如下：

解：连结MP，PN，NQ，MQ，M，P是AD，BD的中点，MP∥AB，MP=AB/2，

同理：NQ∥AB，NQ=AB/2，MP∥NQ，MP=NQ，四边形MPNQ是平行四边形.

同理，MQ=CD/2，又AB=CD，MP=MQ，平行四边形MPNQ是菱形，

MN与PQ互相垂直平分.

例2：如下图所示已知：AB、CD是圆内非直径的两条弦，求证AB与CD不能互相平分

证明：假设AB与CD互相评分与M点，则由已知条件AB、CD均非直径，可以判定M不是圆心，连接OA、OB、OM

因为OA=OB，M是AB中点，所以OMAB

同理可证

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对一种思维方式的应用，我们首先就应该了解与认识这种思维方式的定义与形成。那么何谓逆向思维方式呢？它就是反常规的思维方式，即从已有习惯思路的反方向来思考与分析问题，这就是逆向思维区别于常规化思维最主要的特征。逆向思维其实古已有之，并对科学发现有着重大的推动作用。像历史故事“围魏救赵”、成语故事“以子之矛、攻子之盾”和孙子兵法“声东击西”等都充分说明了逆向思维早就已经存在并且运用的途径非常广泛。我们在培养学生逆向思维的教学中常常会遇到学生定式思维根深蒂固和学生对逆向思维反应较慢等问题。

二、初中数学教学培养学生逆向思维的途径

1.挖掘学生数学逆向心理是培养学生数学逆向思维的前提

培养学生数学逆向思维就应该先树立给学生一个可逆性思考的角度，让学生认识到可逆性在数学中是大量存在的、可逆性是数学逆向思维的最基本特征。这样在老师的不断引导下学生就会在浅意识中慢慢植入运用可逆性思维来解决数学问题的想法。这样学生在做数学题的时候除了习惯传统的正向推理外，也会尝试利用逆向思维来思考，从而培养学生一分为二、多角度来分析与解决问题的能力。

2.定理公式中渗入逆向理念是培养学生数学逆向思维的重要方式

首先，逆向思维应该在定理与公式中体现出来。在初中数学中有很多定理和公式不仅可以用正向思维向学生讲解，还可以利用逆向思维从相反的方面向学生传授。互逆定理最为典型，像勾股定理及逆定理、角的平分线性质定理及逆定理等，公式像乘法公式、整数指数幂的运算公式等都可以从两方面来分析。

其次，在概念与定义中传播数学逆向思维方式。从数学学科的特点中我们可以知道，有很多数学定理与公式都是可逆的、双向的。教师在讲解一个公式的时候除了向学生教授基本的、固定的形式外，增加并分析该定理与公式的逆向结构也是非常重要的。例如，学习同类项时，我就利用了一个逆向思维的题目加深学生对此概念的理解和掌握：如果-amb3+2a2bn是单项式，求m+n的值。起初同学们还比较困惑，但是当我引导学生倒着想，题目就迎刃而解了。这种逆向运用定义的训练，可以为学生以后几何证明学习打下良好的基础。

3.课后的补充练习是培养学生数学逆向思维的巩固和完善

数学逆向思维的培养不仅局限于课堂上，而且在课后的作业中也应该有所体现。教师在课堂上除了由浅入深地举例讲解外，在布置课后作业时也应特别注重学生逆向思维解题能力的巩固。例如，在平面几何的定义和定理中应强调其可逆性与相互性，在布置课后作业时可以要求学生从多角度来思考问题，给予学生以数学逆向思维的引导，便于学生在解题中训练数学逆向思维能力，做到熟能生巧。

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数学一直以来都是一门思维性很强的学科，而逆向思维是数学思维中的重要组成. 培养学生逆向思维的过程实际上是培养学生的思维敏捷性. 有研究表明，很多学生的数学成绩不理想很大程度上是因为逆向思维的能力不足，习惯只是学习公式、定理等刻板的内容，没有创造和观察的能力. 所以，在教学过程中教师应该对逆向思维的培养给予足够的重视.

一、在实际教学中逆向思维的培养

1. 加强基础知识的逆向教学

初中阶段的数学教学仍是基础教学，在教学的过程中强调对于基础知识的掌握，同时引入逆向思维不单可以加固学生对于基础知识的掌握，也可以锻炼学生的思维，拓展了思考方式. 在基础教学中应该对概念的理解和运用上优化逆向的教学. 在这中间存在很多互为的概念. 例如：互为倒数、互为相反数等，通过这些概念教师可以指导学生从正、反两个层面对问题进行思考，培养他们的逆向思维能力.

2. 由概念着手增加学生的逆向思维

数学中很多概念是互逆的，对于这种类型的概念可以采用先正后逆的方法，打破学生的常规思维模式，帮助学生更清晰地分析概念，同时养成双向考虑问题的习惯. 比如同类项是代数中的重要概念，为了可以加深学生对该概念的掌握和理解，可以举例并分析：

（1）假设-amb3与2a2bn是同类项，那么m，n的值是多少？这题目一开始会难住很多学生，但如果教师可以引导学生运用逆向的思维方式来解题，学生就可以根据相应的逆向思维得出m = 2，n = 3.

（2）教学相反数的概念时，不单可以问学生3的相反数是几，同时还可以提出0.3的相反数是多少，或-5和数字几互为相反数，等等. 通过从正反两个层面提出问题可以有效地帮助学生去理解相反数的概念.

3. 通过公式法则培养学生的逆向思维能力

在数学的教学中往往要涉及很多的公式、法则，对于这些公式和法则的双向性学生是比较容易理解，但是大多数学生只会从左至右地正向运用，对由右至左的逆向运用不熟悉. 所以，在法则和公式的教学中要加强相应的逆向指导，只有正确地运用正逆两种法则和公式在解题的时候才能得心应手. 举例说明，在不解方程的情况下，判断方程2x2 - 6x + 3 = 0的根的情况. 在解题的时候可以将方程变式成为：已知关于x的方程2x2 - 6x + k = 0，k取何值方程有两个不相等的实数根？经常进行这种有针对性的逆向锻炼对逆向思维的形成会起到非常重要的作用.

4. 注意在解题方法上进行逆向思维的训练

（1）反证法. 反证法是一种间接的证明方法，以特征结论的反面为基础，推出矛盾，以此来否定证明结论的相反面来肯定特征的结论. 这也是很多数学问题在直接证法处于困难时所经常使用的方法. 加强反证法的锻炼可以帮助学生拓展思维的广度、深度，对逆向的思维培养起到关键的作用.

（2）分析法. 分析法实际上是从命题的结果出发，一路分析充分条件，直至推理出已知条件的方法. 这样的方法也可以充分培养学生的逆向思维能力. 看果追因是分析法的基本内容，其关键是整个解题过程一定是一个可逆的情况.

（3）举反例. 在数学的命题中给出一个命题要判断其错误，只要给出一个满足命题的条件但结论并不能成立的例子就可以否定此命题. 这种方法就是通常所说的举反例. 加强对举反例的锻炼可以有效地锻炼并培养学生逆向思维的能力.

二、逆向思维在数学解题中的应用

1. 立体几何命题

立体几何中的定理、概念除了直接应用之外，还可以根据题目的特点与要求进行相反的应用. 举例说明，求证：分别在两个平面内的两条不平行直线是异面的直线. 根据题目的条件得知两条直线不平行. 只要证明了这两条直线并不相交就可以证明是异面直线. 从这个题目可以看出，利用反证法来解决此问题是非常容易的.

2. 概率命题

举例说明，全班共有50名学生，求至少有2个人是同月同日生的概率. 这是一个世界著名的生日怪论命题，帮助学生了解此理论，引导学生运用对立事件的解决问题非常容易. 先得出50名学生都不是同月、同日生的概率，之后根据对立的事件的总概率 = 1，得到至少有2个人同月同日生的概率值. 充分利用对立事件进行逆向思维，可以让原本复杂的概率问题得到简化.

3. 不等式命题

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横向思维是从知识之间的横向相似出发，即从数学的不同分支：代数、几何、三角或分析等角度去考查对象，从有关规律出发去模拟，仿造或分析问题的思维方式.它利用相似性，把不同知识与方法交叉起来，从横向的联系中得到暗示或启发，从而具有发现知识或方法的开放性，以及解决问题的灵活性.

从以上两例可看出，横向思维需要有“似曾相识”的感觉，要以一定的数学知识和解题经验为基础，知道一些基本问题的解法.只有如此，对于一个陌生的问题，进行过深思熟虑的分析，采取迁移、转化、构造等手法，才有可能联想到一个熟悉的且与所给问题相类似的简易问题，并根据这个简易问题的解法来揣测解决所给问题采取的途径，最终使问题获解.在这一系列过程中，学生的零散知识得到重组，积极性充分调动起来，分析解决问题的能力得到提高，活跃了思维，磨练了意志.

二、逆向思维

逆向思维是从已有的习惯思路的反向去思考和分析问题，表现为逆用定义、定理、公式、法则；逆向进行推理，即顺推繁杂时考虑逆求；反向进行证明，即直接解决较困难时考虑间接解决，从反方向形成新结论，即探讨可能性或合理性存在逻辑困难时考虑探讨新的可能性等.逆向思维反映了思维过程的间断性、突变性和反联结性，它是摆脱思维定式，突破旧有思想框架，产生新思想、发现新知识的重要思维方式.

例3 如图2，如果凸四边形ABCD的两组对边的平方和相等，试证：ABCD的对角线互相垂直.

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中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2016）10-0249-01

对于数学学科来说，其存在极强的逻辑性，对于学生的逻辑思维要求极高，如果学生可以掌握学习规律，就能够在某种程度上完善思维能力，继而有效解决学习中遇到的困难。有研究表明，数学教学中如果运用单一教学模式将会禁锢学生思维，长此以往促使学生思维能力变弱，而如果对学生施以逆向思维培养将会获得相对较好的教学效果。本文简要介绍了逆向思维的定义及具体教学策略，进一步促进初中数学教学质量与效率都得到极大的提升。

1.逆向思维概述

所谓逆行思维，从本质上分析属于创造思维，是正思维的对立面，与以往的思维模式具有极大的差别性，是从问题结果着手进行反向思维思考，然后得出结论。逆向思维是传统思维的一种反面，探索方向正好相反，这在某种程度上打破了学生固有思维，这对学生的帮助是非常大，可以快速找到解决问题的方法策略，极大的提升了学生的学习效率，通过逆向思维思考问题变得清晰简单，同时还可以从日常的解题中总结经验，形成规律性。基于整体教学考虑，教师应该关注这一方面的教学引导，将学生逆向思维充分调动起来，这样可以拓宽学生思维，对于其日后的学习也是非常有帮助的。

2.逆行思维培养于教学中的具体应用

2.1 数学概念应用。教师在进行数学教学时，可以在课堂中积极引导学生运用逆向思维去思考问题，继而解决问题，教师通过教学渗透让学生可以拓宽思维，运用不同的解题思路去完善学习。但是基于现状分析来看，很多学生逆向思维能力并没有得到有效开发，他们在理解数学概念遇到了一定的困难，对其抽象性难以有效分析，存在片面性，这在某种程度上将会影响到学生日后的解题方向。例如：教师在进行相反数概念教学时，可以先从正面渗透，如相反数是什么？然后再从逆向思维方面进行教学渗透，什么数属于相反数？例如：b=-6，则-a=（）；假如-b=-6，那么b=（）。教师通过上述逆向思维的提问可以帮助学生形成逆向思维，对于学生日后的学习起到助力。实施补角内容教学时，教师基本上都会正面进行引导，α+β=180°，就可以推断出上述α、β互为补角；反之，假设α、β互为补角，就能推断出α+β=180。。教师在教学过程中运用不同的逻辑思维对学生的帮助极大，对于概念的学习非常完整，加深概念理解对日后的学习打下良好的基础。

2.2 解题技巧应用。学生逆向思维的形成是需要自身努力的，而教师在此过程中只起到了引导作用，只有学生在日常学习中不断累积经验，通过锻炼总结规律。教师在课堂教学中应该起到引导作用，逐步向学生渗透解题策略，继而从最大限度上提升其解题能力，完善逆向思维训练。

逆用运算律，例如：139×（-60）+139×52-10×139-84×61-69×66，当学生看到这一题时通常会觉得是难题，这其中涉及到运算律，并且是逆用运算律，初中阶段学生刚刚接触到混合运算，这道题对于学生而言容易出现误区，教师需要在其中发挥关键性的引导工作，要求学生认真审题，帮助学生借助逆用运算律解决，从而简化解题步骤。原式可以这样解，即=139×（-60+52-10）+61×（-84+66）=139×（-18）+61×（-18）=（139+61）×（-18）=-3600。

从上述案例中我们可以看到，逆用运算律能够帮助学生有效解决数学问题，节省习题时间，提高做题准确率，从而提升学生数学解题能力，在日常的解题训练中不断优化自身的逆向思维能力，提高学习质量。

2.3 难题解答中的应用。初中数学教学中涉及部分难以解答的问题，教师通过正面讲解无法帮助学生理解透彻，这时可以借助逆向思维方式去重新理解题目，将会获得不一样的解题思路。例如：在以下三个公式中，X2+4ax-4a+3=0，X2+（a-1）X+a2=0，，X2+2ax-2a=0，至少有一个公式，具有实数根，求a的取值范围。这道题学生从正面思考相对而言问题较多，具有一定的困难性，情况极为复杂，假设从反方向思考，三个方程式均没有实数根，从这个角度分析，a的取值范围就很好确定，即Δ1=（4a）2+4（4a-3）

疑难问题是现阶段初中生极易遇到的类型，很多学生运用正向思维不能理解题意，并且难以有效解决，给学生造成一定的精神困扰，导致学生学习积极性受到影响，挫伤学生学习自信心，造成学生成绩不能有效提升。从另一角度分析，逆向思维可以帮助学生从不同角度分析问题，解题思路更为明确，有效解决教学过程中的弊端，从长远角度分析，学生逆向思维的培养是非常关键的，有利于促进学生全面发展，提升其数学问题解决能力，为提高学生成绩奠定良好的基础。

总的来说，逆向思维对学生学习数学是非常有帮助的，教师在日常教学中可以积极引导，并根据教学的具体情况拟定切实可行的教学计划，真正使学生具有逆向思维，提高解题效率与质量，从而实现高效学习。同时，逆向思维的培养还有赖于数学教师的专门研究，如果操作不当会给学生带来学习的困难和困惑。培养学生的逆向思维，需要对学生的学情充分掌握，因人而异。最好能够进行分组教学，只有这样才能把逆向思维教学取得更好的教学效果。

参考文献：

[1] 杨昭，李文铭.浅谈初中数学教学中学生逆向思维能力的培养[J].学周刊，2016（01）.

[2] 刘赫.试析初中数学教学中学生创新思维能力的培养[J].中国校外教育，2012（23）.

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逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维，是发散思维的一种形式。逆向思维具有反向性、新颖性、批判性、突破性和悖论性等特征。逆向思维在中学数学教学方法中有着十分广泛的应用，教师应注重培养学生的逆向思维能力。正确运用逆向思维，对学生学好数学是十分有益的。

现阶段学生思维能力薄弱，大部分教师在传统课堂教学中只是关注学生的认知水平，培养学生的模仿能力，很难做到从思维的角度去解决问题，总结学习方法。学生对于公式定理只是进行死记硬背，生硬套用。缺乏观察、分析、研究的能力。其实在我们构建知识框架时，不难发现逆向思维无处不在，无论是概念、定义、公式、法则，还是定理、定律及性质等都蕴含着逆向思维。因此，教师应充分发掘教材中互逆因素，有机训练和培养学生运用逆向思维来解决问题，提高学生解决和分析问题的能力，培养他们的创新思维。

一、数学概念、公式、法则的可逆性教学

在教学中我们发现，学生对于定理概念只会顺向应用，而逆向应用难度却感觉很大，如，线段的垂直平分线的性质和判定相比，二者的条件和结论正好相反，他们构成一对互逆定理，通常把性质定理称为原定理，判定定理称为逆定理，教师可以帮助学生分析原定理是从点的位置特征知道线段的大小数量关系，而逆定理是从线段的数量关系知道点的位置特征。因此，在解决问题时可以借此特征记忆、理解、分析、运用。

初中数学中有些公式也含有可逆思维，如，完全平方公式和平方差公式、整式的乘法和因式分解等，教师也可以运用上述方法进行教学。

二、数学命题（定理）的可逆性教学

在中学阶段，我们会见到很多类型的题目就是写出原命题的逆命题，可是发现有些学生在写逆命题的时候没有把握知识的结构从而产生错误，如，命题“同角的余角相等”，很多学生把它的逆命题写成“如果是同角，那么它们相等”这样错误的答案，不难发现学生只是表面上认为逆命题就是反过来写，而没有分析其中的条件和结论，所以，教师在教学时应重视帮助学生分析，再进行逆向思维训练。

三、重视逆向变式训练

逆向训练就是将题目中的已知和求证调换着进行训练，如，在等腰三角形中证明角相等，我们可以利用“等边对等角”的定理进行证明；反过来我们也可以利用“等角对等边”，通过角相等来证明三角形是等腰三角形，在教学中可以多进行训练，锻炼学生的逆向思维。

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数学课程标准明确指出：“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展……使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。” 要使学生在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展，我认为在数学教学中加强逆向思维训练是一个有效的捷径。中学数学教材中的“逆运算” “逆否命题 ” “反证法 ”“分析法”等很多地方都涉及到思维的逆向性。培养学生创新能力是素质教育的一项重要任务，数学教学对于提高学生的思维能力有特殊的意义。

俗话说的好：“在逆境中求生存，在生存中求发展。” 在逆境中如何求生存，这就要去思考，而创造性思维往往来自逆向思维，有时候则要打破常规的思维方式，反其道而行之，达到摆脱困境的目的，这样的例子在历史上枚不胜举。有人落水，常规的思维模式是“救人离水”，而“司马光砸缸”救起了小伙伴，就是运用了“破缸留人”的逆向思维。古罗马的阿基米德利用水的浮力和物体的排水量来鉴定国王的金冠。在数学教学中注重学生逆向思维训练，就可以使学生养成多角度、多方位、多功能、多途径思考问题的习惯，达到解决问题的目的。 解题教学是培养学生思维能力的重要手段之一，因此教师在进行解题教学时，应充分进行逆向分析，以提高学生的解题能力。

以以下两类为例：

一、顺推不行则逆推

有些数学题，直接从已知条件入手来解，会得到多个结论，导致中途迷失方向，使得解题无法进行下去。此时若运用分析法，从命题的结论出发，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解题途径。例如：

例1 已知a,b是 不相等的正数，求证：a3+ b3> a2b+ ab2要使 结 论 成立: a3 + b3> a2b+ ab2，只须知(a+b)(a2-ab+b2)> a2b+ab2，因为a+b>0,要使(a+b) (a2-ab+b2) >a2b+ab2成立只须知道a2 -ab +b2>ab，要使a2 -ab +b2 > ab成立只须知道a2-2ab+ b2> 0，要使a2-ab+b2> 0成立只须知道(a-b)2>0。显然由题设a≠b,(a -b)2>0是成立的。

例2 某文具店第一次把乒乓球卖出一半后，补充1000个，以后每次卖出一半后，都补充1000个，到第十次，卖出一半后恰好剩下了1000个，文具店原有多少个乒乓球?

分析 :若直接设文具店原有x个乒乓球，则第一次卖出一半后剩下x的一半个.第二次卖出一半后剩下（x的一半加1000）的一半，依次下去做…这就太复杂了，现采用分析法解答。

解:设第十次卖出前有x个乒乓球，则x÷2= 2000，得x=2000这也是第九次卖出一半再补充1000个后的乒乓的球数，又设第九次卖出前有y个乒乓球1000，得y=2000，这也是第九次卖出一半再补充1000个乒乓球数。因每次卖出和补充乒乓球数的规律相同，可知文具店原来有乒乓球2000个。

二、正面不行用反面

这里的反面指的是用反证法，是初中阶段两大间接证发中的一种，另一种是同一法。

例1 设 二实数a和b，若a2+b2=0，则a和b必须同时为零。

证明 :设 a,b至少有一个不为0，则有扩、少中至少有一个不为0.

则有a2+b2>0，与已知矛盾，所以假设不成立，原式成立。

例2： 有关于x的三个方程x2 +4mx-4m+3=0; x2 +(m-1) x+m2 =0; x2 +2mx-2m=0.它们中至少一个有实根，求实数m的范围。

分析 “至少一个有实根”包括只有一个有实根；其中两个方程有实根；三个方程都有实根三种情况。但我们考虑问题的反面：m为何实数时，三个方程均无实根。问题变得简单易解。

解： 若三个方程均无实根，则有 ：

1＜0，2＜0，3＜0

则： -3／2 ＜m＜-1

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逆向思维，也叫做求异思维，这种解决问题的思维方法是通过打破传统的思维方式，对司空见惯的方法或原理进行逆向的思考。从数学学习方面来讲，逆向思维就是在学习数学原理、公式以及推理的过程中，通过结论推导出已知条件的思维方法。

逆向思维能够在初中数学教学中得到充分的应用，究其原因，主要是以下两点：首先，逻辑性和严密性是数学这一学科所具有的特点，而其高度的严密性又体现在知识点之间的相互衔接，使解题过程中存在明显的因果关系；其次，学生在初中阶段，会有明显的抽象思维能力提升，再通过老师对学生逆向思维的培养，可以帮助他们更加轻松地掌握数学的基础知识。

二、如何进行初中数学教学逆向思维的开发

（一）概念教学中的逆向思维培养

以往的概念教学过程中，教师总是会忽略概念、定义等元素的双向性特征，一般只是采取从左到右的讲解方式，这就导致了学生定向思维的产生。因此教师在讲解具有双向性的概念、定义时，需要注意激励学生进行反向思考，看一看这一概念反过来是否依然可行。例如，在讲解“互为余角”这一定义的过程中，教师可以先为学生讲解：因为A、B两角相加等于九十度，那么由此证明A、B两角互为余角。待学生了解了这一定义之后，可以鼓励学生进行逆向思考，是否可以因为已知A、B两角互为余角，从而证明A、B两角相加等于九十度呢？通过这样的学习，学生就能够对定义、概念有了更全面的了解，从而在今后的解题过程中能够举一反三。

（二）公式、命题教学中的逆向思维

学生在课堂中学会某个公式的用法之后，基本上都能够将标准的公式熟记心间，可是在实际解题过程中，运用这样的标准公式有时无法将题目解答出来，这不是题目超纲的问题，而是需要学生们转换思维，逆用公式进行解答。因此，在进行公式教学时，教师可以让学生学习如何将公式从左解出右，再从右解出左。

那么在日常的公式、命题教学中如何培养学生的逆向思维呢？首先，要引导学生对该命题的逆向推理是否正确进行思考；其次，让学生思考：如果逆命题成立，应该怎样进行应用。最后，若这项逆命题不成立，还有无其他简洁的方法解答题目。

逆向思维的方法既可用在代数题中，也可用在几何证明题中，“反证法”就是逆向思维在几何证明题中的运用。“反证法”的应用一方面可以帮助学生拓宽解题思路，另一方面还能使题目的解答更加简洁。教师若要适应新课标的要求，在公式和命题教学中提高学生逆向思维的能力，应在课前进行充分的备课工作，在课堂实践和课后作业中培养学生运用逆向思维。

（三）使学生在丰富多彩的活动中体会数学，学会运用逆向思维

学生若在活动中能够自己发现数学问题，并自行解决，这样的学习方法要比老师在课堂上教导学生进行逆向思考有效得多，因此教师在教学过程中应当适当布置学生自己探索数学问题的活动。例如在教授储蓄和银行利息计算的时候，老师可以让学生进行分组，让每组学生到银行对各种储蓄方式的利息计算方法进行了解。回校后，各组学生根据自己了解到的数据编写题目，在课堂上，各组拿出自己的题目相互进行探讨，看一看所编写的题目是否合理。这样，一方面培养了学生双向思考的能力，另一方面又加强了他们的团队意识和合作交流能力，还能激发学生的学习兴趣，可谓是一举多得。

（四）将逆向思维方法渗透到日常教学之中

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一、逆向思维在数学中的应用

逆向思维反映的是思维过程的间断性和突变性，意即强调使学生突破思维定势和固有的思考框架，产生新的思考方法，找到新的解题途径．这是创立新科学理论的重要思维方法．数学教学中最基本的“设定未知数‘x’”即是逆向思维的一种最为普遍的应用．即，将原本未知待解的数“x”设定为已知数代入到公式中，通过“x”在公式中的关系反向推导出结果．逆向思维在数学中的实际应用早在19世纪就催生出了非欧几何，包括后来在20世纪60年代建立发展起来的模糊数学，均是逆向思维在数学领域成功运用的典型案例．

二、实际教学中逆向思维的培养和训练

对于逆向思维在初中教学中的培养和应用，应主要从两个方面入手．

1　加强基础知识的逆向教学．初中阶段，数学仍然是一门基础学科．在教学过程中强调对基础知识牢固掌握的同时，顺势导人逆向思维，不仅更加巩固了学生对基础知识的熟练掌握程度，也锻炼了学生的思维，拓展了思考模式．在基础知识中，应在对概念的理解和运用上加强逆向教学．在数学中存在诸多“互为”关系的概念：比如，“互为相反数”、“互为倒数”等等，通过这些简单的概念，教师可以引导学生从正反两方面去思考，培养其逆向思维的能力进而建立起双向的思维模式．比如，对于原命题、逆命题这一概念，学生往往只重点记住了逆命题是原命题的逆命题，却忽视了原命题也是逆命题的逆命题．在教学过程中，教师若能适时地引导学生从命题的反面进行思考，则会在早期的基础阶段就打下良好的逆向思维根基．

2　注意解题方法上的逆向思维训练．(1)分析法解题。分析法就是从命题的结论出发，顺藤摸瓜追溯充分条件，直到推导出已知条件的方法，可以充分培养学生的逆向思维能力．“执果溯因”是分析法的本质特征，关键是整个解题过程必须是可逆的．(2)反证法．反证法是一种间接证法，是从特征结论的反面出发，推出矛盾，从而否定要证明结论的反面，肯定特征结论(即双重否定等于肯定)，是许多数学问题在直接证法相当困难时常用到的方法之一．加强反证法的训练，有利于学生思维广度的拓宽和深度的加深，对逆向思维的培养有着非常重要的作用．(3)举反例．在数学命题中，给出一个命题要判断它的错误，只要给出一个满足命题的条件但结论不成立的例子，即可否定这个命题．这就是通常意义说的反例．加强举反例的训练，可以有机地做到训练和培养学生的逆向思维能力．

三、逆向思维在数学解题中的实际应用

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二、数学教学中培养学生的类比思维能力

类比思维能力的培养对学生具有重要作用，类比思维能力也是每一个人应该具备的能力，因为它对我们的生活有着极为重要的意义。类比思维能力在日常生活中的应用也非常广泛，帮助人们解决了很多问题，例如，人们可以根据今年冬天的降雪量以及温度推测出明年粮食的收成，可以根据晚上的天气状况推测出第二天的天气状况，这些问题能够推测出来，依靠的都是人类的类比思维能力。类比思维能力在数学学习中也具有非常重要的意义，她主要是要求学生在学习数学的过程中利用已知的条件，推测出未知的答案，例如，等边三角形ABC的高是6，已知D是BC的中点，DE垂直于AB，DF垂直于AC，求：DE+DF=？这道题就要求学生利用类比思维解决问题，用题目中的已知条件，求出正确答案。这也说明，在初中数学教学中培养学生的逆向思维能力是很重要的，老师在教学过程中要注意对学生逆向思维的培养。

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对学生逆向思维能力的培养不仅是为了弥补学生综合发展过程中自身存在的不足，也是为了满足新课程标准的要求.逆向思维能够引导学生更全面地看待问题，进而从对问题的逆向推理过程中找寻出解决问题的办法.初中生处于特殊的年龄阶段，加强学生逆向思维能力的培养不仅能增强学生对数学基础知识的理解，还能提高他们的思维严谨性.在教学工作过程中，教师应摆脱传统的机械式思维习惯与思维方式，提高学生的逆向思维能力，改善他们的思维方式，以引导他们形成良好的思维习惯.同时，注重学生逆向思维能力的培养能够使学生形成良好的思维品性，从而提升学习兴趣与自身的综合素质.

二、合理运用概念教学，培养逆向思维意识

我们平时的概念教学中，多是遵从教材的概念、定义，从左往右地运用.久而久之，学生形成了定向思维模式，遇到一些未遇到的问题时就束手束脚，无从下手，不懂得举一反三.对于逆向看待教材中出现的概念、定义很不习惯.然而，事实上教材中的很多数学概念、定义等元素都是双向的.因此，在概念教学过程中应有意识地培养学生的逆向思维意识.

例如，在讲“互为余角”时，可以采用这样的讲解步骤：在一个三角形中，如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角，（正向思维）；在一个三角形中，若两个角互为余角，则这两个角的和为90°，且该三角形为直角三角形，（逆向思维）.

作为教师，应首先明确哪些概念的定义是可逆的，并根据自身不同情况，选择难度适中的题目来对学生加以正确引导，以促进学生逆向思维能力的提升.

三、合理运用数学公式，培养逆向思维意识

公式与法则是初中数学内容比较重要的知识内容，运用逆向思维不仅有利于学生对于数学公式法则的理解，还能够激发他们对于公式法则精髓的学习.从判定定理到性质定理、从多项式的乘法到分解因式等都是培养学生逆向思维能力的素材.同时，对于有些问题而言，如果用正向思维来解算会比较复杂，但如果用逆向思维来解题就相对比较简单.

运用逆向思维能够有效提高学生的解题速度与效率，并且能够激发起他们解题与钻研公式法则的兴趣.对于教师而言，应有意识地培养学生的逆向思维能力，比如可在日常的教学工作过程中有意识地引导他们判断逆命题的正确与否，倘若逆命题成立，应该考虑逆定理如何运用；若不成立，则应考虑其他的解题方法，以提高学生的思维灵活性，顺利完成初中数学的教学目标.

四、合理运用反证法，培养逆向思维意识

合理利用逆向思维引导学生去探究定理的逆命题的真假，不仅能使学生更加系统完善地学习知识，激发起他们的探究欲望，还能培养学生创造性地把定理题设与结论相互转化，进而形成有异于传统基本思想的逆向思维.反证法的思维特点与其他的方法不同，它是通过证明一个命题的逆命题或否命题来间接证明原命题的正确与否，这是运用逆向思维的一个典范.利用反证法解题是运用逆向思维方式解题的一种体现，并且该方法也是初中阶段较常用的一种证明方法，能够有效提升学生的逆向思维能力.

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关键词 初中数学；数学思想方法；合作学习模式

前言：进入21 世纪，科技迅猛发展，国家需要具有综合素质的人才，初中作为学习的重点阶段，而且数学学科可以应用到社会中众多领域，对数学的教学要求也非常高。传统的初中数学教学模式已经不能达到当今教育要求，必须采用合作学习模式。合作学习是通过教师引导学生学习，以团队的形式完成教学目标，如果学生在学习过程中充分运用数学思想方法，并对数学思想方法加以研究和完善，学生学习数学效果将会更好。

一、数学思想方法的含义

数学思想是指师生对数学理论知识和内容本质的认识，数学方法是应用数学思想的具体形式，两者在本质上并没有区别，差别只是站在不同的角度看问题。数学思想是对数学知识和结合以及解答方法的认识，能够有效解决数学问题。数学思想方法是解决数学问题的工具，它从数学教学内容中汲取精髓，将理论知识运用到运用到实践中。数学思想方法总结了数学知识的原理、概念，在初中数学教学中，常用的数学思想方法有配方法、换元法、类比法、转化与化归、分类讨论、数形结合等。

二、数学思想方法在初中数学合作学习中的应用

合作学习是初中数学学习新模式，数学思想方法能够在合作学习中发挥作用。2014年3 月~2015 年6 月，选取八年级两个致远班为研究对象，采用类比方法进行分析，班级一在数学合作学习中运用数学思想方法，班级二在数学合作学习中运用常规方法，并且以一个学期四个月为时间段，分析每个月学生的学习状况。班级一运用数学思想在合作学习中采用数学思想方法，将班级学生分成四个小组，首先教师给学生设置问题，让学生主动思考，例如在反比例函数学习中：优定义：y=k/x=kx-1或xy=k(k屹0)。悠图象：双曲线（两支）—用描点法画出。忧性质：淤k>0 时，图象位第一、三象限，y 随x的增大而增大；于k<0 时，图象的两个分支位于第二、四象限，y随x 的增大而减小；盂两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。在研究反比例函数时，每组学生讲述自己的思维方式。学生通过自己思考，并用逆向思维思考解决数学问题，根据双曲线在坐标轴上的分布情况，提炼规律，将数学思维方法应用在初中数学合作学习中。班级二学生尚未开动脑筋、主动思考，教师将函数知识讲授给学生，学生未能采用逆向思维去剖析函数图像情况，只是学习老师讲的内容。在四个月的学习中，班级一每堂课合作学习都应用数学思想方法，班级二则尚未应用数学思维方法，每个月对两个班级积进行考评，班级一平均分数为91.46 分，班级二平均分数为82.45 分，两个班级分数还是有一定差距的，由于班级一在合作学习中应用了数学思想方法，所以教学取得了很好的效果。

三、数学思想方法在合作学习中的优势

（一）丰富了学生合作学习方法

初中数学教学采用合作学习方式可以促进学生之间交流，学生在相互学习过程中互相监督，并提出各自的意见，集思广益。将数学思想方法应用在合作学习中，能够实现学生用逆向思维思考问题，发散思维，这样学生合作学习的方法不会局限在原有层次上，而是从正、逆向同时考虑问题，丰富了学生合作学习方法。

（二）促进学习观念迁移

学生的学习效果是受外部与内部条件共同作用的，学习也是需要一定能力的，通过数学思想方法能够实现将一种学习方式迁移到另外一种学习方式，转变学生学习观念，打破固有的思维模式，增强整体意识，从而形成良好的学习习惯，掌握更多的学习内容和学习方法。

（三）提高初中数学教学质量

数学思想方法在初中数学合作学习中应用可以解决通过用题海战术来学习数学错误的思想，更重要的是克服教师在授课中不会将教学内容深入展开，打破教师照课本授课的局面。教师和学生通过数学思维方法挖掘数学内容，重视解题技巧和思维方法，教师精心设计教案，在课上给学生设置问题，学生将正向思维和逆向思维相结合，对教学内容有深层次理解，从而提高教学质量。

四、结论

数学思想方法是以教材内容为基础并进行深入研究，以学生为主导地位，通过在合作学习过程中完美的吸收、消化数学知识，将数学思想方法应用在数学合作学习模式中对科学、有效的教学起到巨大作用。因此，初中数学教师要积极组织学生合作学习，并对数学思想方法在现有基础上进行完善和创新，将数学知识与数学思想方法有机结合，从而完善初中教学方法，形成一套完整的数学教学体系。

参考文献

[1]于永莲.数学思想方法在初中数学问题解决教学中的应用[J].内蒙古师范大学学报(教育科学版)，2012，02（24）:145-146

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一、概念教学中培养逆向思维意识

我们平时的概念教学中，多是遵从教材的概念、定义，从左往右地运用.久而久之，学生形成了定向思维模式，遇到一些未遇到的问题时就束手束脚，无从下手，不懂得举一反三.对于逆向看待教材中出现的概念、定义很不习惯.然而，教材中的很多数学概念、定义等元素都是双向的.因此，在概念教学过程中应有意识地培养学生的逆向思维意识.为此，我们将从苏教版课本中的相关概念举例说明.比如在“互为余角”的定义教学中，可以采用这样的讲解步骤：

∠A+∠B=90°，∠A，∠B互为余角（正向思维）；

同时∠A，∠B互为余角，∠A+∠B=90°（逆向思维）.

当然，作为教师，必须明确哪些概念、定义是可逆的，才能对学生加以正确引导.

二、公式逆用中另辟蹊径，激发逆向思维兴趣

课堂上，教师应给学生示范公式的推导、公式的形成过程以及对公式的多种形式进行对比区分，探索公式是否可以逆用.在具体的课堂教学中，应多引导学生往这方面思考，让其活跃思维，拓宽思路，寻求更为精妙简单的解题方法，进而获得成就感，以此促进逆向思维能力的提升.对于初中数学而言，公式逆向应用培养学生逆向思维能力的例子不胜枚举，如逆用乘法公式、逆用分式加减法则、逆用完全平方公式、逆用同底数幂乘法法则以及逆用一元二次方程根的判别式等.这里将着重举例说明乘法公式和完全平方公式的综合逆用解题的运用.问题如下：

已知a-b=1，求（a+b）24-ab的值.

分析：这样的题目若正向思考，直接带入求值不可能，因为a-b=1是个整体代换式，如若先正向运用乘法公式进行化简，再逆向运用乘法公式，问题便可迎刃而解.

三、多用逆定理培养逆向思维能力

数学教学的主要内容是解题的基本方法，如分析法、反证法、待定系数法等.有意利用逆向思维引导学生去探究定理的逆命题的真假，不仅能使学生更加系统完善地学习知识，激发起他们的探究欲望，还能培养学生创造性地把定理题设与结论相互转化，进而形成有异于传统基本思想的逆向思维.在此过程中，分析法在几何教学中的应用比较多.比如遇到几何证明题时，学生可以先从结论着手，结合题目中所给图形与已知条件来分析问题，仔细分析“要证什么，则需先证什么”.对于分析法而言，就是从结论出发，把结论步步倒退，并根据逻辑思维的规律性，考虑由什么条件可得出这个结论，直至与已知条件接轨.然而，反证法的思维特点与其他的方法不同，它是通过证明一个命题的逆命题或否命题来间接证明原命题的正确与否，这是运用逆向思维的一个典范.为此，我们将着重举例说明反证法的逆向思维.

例如，证明2006不能等于任何一个关于x的整系数二次方程ax2+bx+c=0的判别式b2-4ac的值.

分析：假设存在a，b，c，判别式b2-4ac=2006.