大学数学统计学范文

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课程代码318.009.1编写时间

课程名称数理统计

英文名称Statistics

学分数3周学时3+1

任课教师*徐先进开课院系**数学学院

预修课程

课程性质：

本课程为数学学院本科生开设，是概率论基础的继续，介绍数理统计学的基础知识。

基本要求和教学目的：

课程基本内容简介：

数理统计是一门理论研究与数学实践相结合的学科，它区别于概率论基础部分，不从概率空间出发，而是考虑如何给随机现象装配一个概率空间。

数理统计学研究数据资料的收集、整理、分析和推断，广泛地应用于社会科学、工程技术和自然科学中。

教学方式:

教材和教学参考资料：

作者教材名称出版社出版年月

教材概率论，第二册，数理统计（两分册）人民教育出版社1979

参考资料陈希孺数理统计引论科学出版社1981

峁诗松,王静龙，濮晓龙高等数理统计高等教育出版社，施普林格出版社1998，2003

J.O.BergerStatisticaldecisiontheoryandBayesionanalysis,2ndedition

中译本：贾乃光译，统计决策理论和贝叶斯分析Springer-Verlag,NewYork

中国统计出版社1985

1988

教学内容安排：

第一章引论

本章的教学目的是阐述数理统计学的基本问题，介绍数理统计学的基本概念。指出了现阶段的教学内容是研究如何利用一定的资料对所关心的问题作出尽可能精确可靠的结论，而不是考虑如何设计获得数据的试验。

统计量是从数据中提取信息的工具。本章介绍了两种常用求估计量的方法，介绍了刻画统计量性能的一致最小方差的概念。

§1统计学的基本问题

§2数理统计学的基本概念

§3求估计量的两种常用方法

§4一致最小方差无偏估计

第二章抽样分布

本章假定待研究的母体服从最常见的正态分布，导出了常用统计量，，的分布。本章的结论是对小样本讨论的，由于正态分布的特殊性，它们也可作为大样本情形的极限分布。

本章还介绍了与正态母体相联系的柯赫伦定理与费歇定理。

§1正态母体子样的线性函数的分布

§2分布

§3分布和分布

§4正态母体子样均值和方差的分布

第三章假设检验（I）

本章的教学目的是让学生认识到参数估计、假设检验和区间估计是针对问题的不同性质而作的三种统计推断，掌握并正确理解显著性检验问题的处理步骤。在本章的执行过程中，给出了一些典型的假设检验问题的分析和理解，以帮助学生掌握和运用这一统计思想。

本章介绍了具有一般意义的广义似然比检验。

§1引言

§2正态母体参数的检验

§3正态母体参数的置信区间

§4多项分布的检验

§5广义似然比检验

第四章线性统计推断

本章主要讨论数理统计学中两类重要的问题，线性模型和回归分析，介绍了处理另一类问题的方差分析。在数学过程中，解释了在复杂问题中使用线性模型的合理性，也分析了统计假设在实际问题中的意义。

在本章的执行过程中，比较了回归分析与线性模型的异同点。

§1最小二乘法

§2回归分析

§3方差分析

第五章点估计

本章从理论的角度讨论了一致最小方差无偏估计的性质。介绍了一些寻找一致最小方差无偏估计的方法。

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统计无处不在

提起统计学，就要先弄清什么是统计数据。日常生活中到处都有统计数据：同学们的考试成绩在班级中的名次、班干部选举时各人的票数量等。统计学应用广泛，在我国最早的应用领域就是给政府提供了解整个国家的基本运行状况和制定各种政策法规的参考依据。我们常听到的一个名词CPI（消费者价格指数），就是政府通过统计学手段来衡量物价水平和通货膨胀水平的。如今，随着统计方法的进步和社会各部门发展对于统筹规划与决策的需求，使统计学从幕后走到台前，参与了大量的军事、政治、政府决策的制定，并为之提供理论依据。统计学就是一门搜集、整理、显示和分析统计数据的学科，可以形象地称为“和数据打交道的艺术”。

美国是统计学最发达的国家。几乎每一个大学生都知道统计这个学科，许多非统计学科都把统计作为必修课，这样，当人们遇到了统计问题，也都知道如何去寻求答案。因此，统计专业的应用范围十分广泛，已成为除计算机专业之外的最好找工作的专业。由于行业需要和立法等原因，医药界成了使用统计最多的行业之一，医药领域也成了统计方法和理论发展的一个重要源泉，同时生物统计也是统计家族中的一大热门。此外，工商业、金融管理、市场和民意调查及各级政府工作中同样大量地、普遍地和经常性地使用统计方法。时至今日，伴随着社会分工的进一步明细，统计学已细分为数理统计学、教育统计学、生物统计学、心理统计学等分支学科。

各科数学为先 练就宏观思维

很多同学也许会认为，统计学与传统的计算机、应用数学、应用物理这类纯理科不同，在所学课程上会涉及西方经济学思想、数理统计学、运筹学等这类偏文科类的知识更多些。而恰恰相反，统计学作为一个完全是和数据打交道的学科，需要的是非常良好的统计学基本方法和逻辑思考能力，而数理统计学、运筹学这些基本统计理论学科需要非常良好的数学基础。随着计算机在各个行业的广泛应用，从事统计行业的人如今还需具备熟练地用计算机操作统计软件分析数据的能力。这就使得现在的统计学专业加入了许多计算机类的基础课程，如数据结构、C++语言，JAVA语言等，这下好了，完全成了一个数学系专业了。

当初我在高考填专业的时候首选的是经济学，抱着方便调剂的心态填了一个自以为是偏文科的统计学，结果被“有幸”录取。上课第一天拿到培养方案，感觉就懵了，和同班同学交流心态时惊讶地发现大家的感受和我丝毫不差。后来才了解到，部分学校是将统计学和应用数学专业或者是信息与计算科学专业打通培养的（本科一年级和二年级的课程一样，专业课有些许区别）。

落差归落差，但在上过前两年的基础课（数学分析、高等代数、空间解析几何、常微分方程、概率论、数据结构等）之后，统计专业同学在数学思维、逻辑思考能力相比于别的专业的同学要强很多。为什么呢，拿经济学中的国际贸易来作比较，前两年数学学的是高等数学和线性代数，光看课本，这两门学科在目录上无显著差异。但深入学习之后发现，高等数学着重于计算能力，而数学分析重点在于数学思想的形成，学习中对于同一个理论，更多讨论的是它的推导和证明（有些类似高中数学对理科生和文科生的不同要求）。所以，同样是学数学基础课，统计学学生花的精力要多得多。一学期晚上看书看到十一二点的日子更是数不胜数，那些外专业所说的丰富多彩的课余生活基本与统计学专业学生无缘。每到数学考试前，统计学学生要玩命似的演算、推导，看着外系的学生把高数的书随手翻翻就可以及格，那个心情是无比的羡慕啊。

滚过前两年数学沙场，到了大三后，当面对大量复杂的数据和样本时，统计学专业的学生更具有大局观，能从容有效地面对和处理问题。很多如运筹学、博弈论、概率等经典问题会迎刃而解；最短路径，最小人力如何得到最大效率等在外人看来无从下手的问题，在统计学中就是小菜一碟。之前基础课的很多经典理论、思想，在通过进一步地学习初级统计学、数理统计、多元统计分析、非线性统计分析这类专业性极强的内容时也会一直使用。这些思想和理论在我看来，对于其他课程的学习也是大有裨益的。人们都说，学数学的逻辑性强，自己学过之后才有体会。我在大三的时候也尝试去涉猎西方经济学知识，后来发现思考能力比大一时进步很多。

统计学教会你的是一种放之四海而皆准的思维方式，故而周围很多同学在考研深造选择报考专业时也很广泛，涉及计算机、经济、教育学、管理学等等。甚至在做毕业论文时，选题也不用拘泥于传统的方程、概率等课题，可以从生物、经济、人文的多个方面入手。我的毕业论文就从交通与国民生产总值的相关性进行研究，涉及了统计学，经济学，运筹学等多个学科，论文完成之后觉得知识层次又更上一层楼。现在回想起来，前面的基础课如同学习如何使用工具，在学习过程中注意对数学思想的体会，对知识的总结，整个人的逻辑水平就会在不知不觉之中得到升华和提高。待到应用时，学习就一下子变得多姿多彩了。

专业岗位，可“跨界”考证

除了传统的报考公务员进入统计局或者税务，工商系统之外，给机构做数据挖掘和分析的统计公司、各大银行、金融机构等都是统计学专业毕业生的潜在就业单位。医学统计虽然在中国国内目前应用情况还不普遍，但在国外应用已经相当广泛而且是一个很受立法重视的行业，但可以预见这将是统计专业发展的方向之一。因为统计学接触到的都是行业中最本质最核心的东西――数据，所以统计学做的一部分活在外人看来难以精通，外专业人员难以替代。主要的岗位是研究院，可以再市场研究项目的管理和运作中发挥作用，数据是不会说谎的，通过数据分析得到的结论，对行业乃至社会变化都是是相对准确的。

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21世纪爆发的信息技术革命，改变了社会发展过程中的方方面面。在云技术、物联网技术等高科技信息技术的大规模革新背景下，网络数据增长速率十分惊人，海量庞大的数据标志着大数据时代的来临。作为与数据紧密相关的统计学学科，在大数据的时代背景下，将会面临一系列的机遇和挑战，研究统计学在大数据时代的发展趋势有着十分重要的时代意义。

1.大数据时代统计学面临的挑战

统计学是一门传统的学科，发展至今已经有几千年历史，无论是学科理论领域内还是生产实践过程中，统计学的发展已经十分成熟，存在着许多成熟的研究成果。统计学的不断发展为人类的社会生产带来了极大的影响，随着大数据时代数据呈现海量、分散式的分布状态，其对统计学的影响也是较为明显的。一方面，大数据时代数据之“大”已经超出人们的想象，数据之“全”让人们对于事情的认知更加全面，大数据的多样性、大体量改变了数据样本与总体之间的关系，另一方面，大数据的数据多样性的特点改变了传统统计对数据统计分析的主观诉求，过去人们通过统计分析更偏向于追求“为什么”，而现在的统计分析更趋同与追求“是什么”。这一系列的影响对于统计学的进一步发展提出了新的发展挑战：

1.1样本选取以及标准的确定难度加大

样本统计属于统计学的核心内容，统计学通过样本统计对客观事物数量特点、数量关系等展开研究。在大数据背景下，样本与总体之间的局部与整体之间的关联性将会进一步地降低，造成样本即是总体的变化趋势，因而会造成大样本的标准化的变更。数据来源的多样化进一步的提升了样本数量，继而提升了统计精确度，促进了统计学学科的高精尖的发展。但随着样本数量越来越多，而从网络环境中采集到的数据多半属于非结构化的数据，但传统统计学要求结构化数据，利用传统的关系数据库难以对非结构数据进行有效的转换，难以挖掘大数据大样本数据中的潜在信息。大数据时代统计样本的选取工作难度不断提升，传统统计学缺乏非结构数据的建设，难以发挥出大数据时代，大数据库有效转换非结构与结构数据的优势，也为统计学的进一步发展提出了新的挑战。

1.2统计软件以及统计方法的欠缺

随着信息计算机技术的快速发展，基于计算机运算环境的统计学软件应运而生，统计学软件的使用有效提升了统计学中对数据分析和处理的效率和精准率，统计模型也进一步的简化了统计的实际操作，更有利于一般性的统计工作的实践操作。大数据背景下，现阶段发展较为成熟的统计学软件如SPSS、DPS等，尚不能够实现大数据高速传输、存储功能，软件功能还需要一定的开发和升级。与此同时，数据在大数据时代下属于一项资本，其被开发的水平还略显不足，绝大多数被互联网、搜索引擎以及电子商务等相关IT公司、统计机构所掌握。

2.大数据时代统计学面临的机遇

2.1统计效率的提升

在大数据时代，统计学的统计效率得到了更好的体现。一方面，大数据的多样化、及时性特征能够有效弥补传统统计中数据的滞后性问题，有效的提升了统计的时效性，另一方面，大数据的高速传输为统计的动态数据的收集提供了保障。与此同时，大数据可被频繁反复应用，采集的统计数据不再单单局限于一种相关用途，其能够服务于各式各样的需求。对采集数据应用的次数逐步增多，数据所具备的潜在价值被更全面的挖掘，而采集数据所产生的成本并不会受数据应用的次数所影响，故各式各样用途的平均统计成本将得到显著地降低。

2.2统计学科体系的新延伸

大数据引入到统计学科之中，庞大的数据使得样本的选取、标准划分都产生了新的变化，传统统计中的样本统计将会进一步的朝向总体统计的方向发展，一并囊括总体统计、样本统计的统计学科体系，能够有效消除总体统计的数据采集难度，弥补样本统计的数据采集不足，达到有效延伸统计学科体系的目的。

2.3统计学科的应用范围扩大

传统的统计学实践是为了去了解一个结果或者一个原因，但基于大数据的统计学科将向人们展示的是一个具体的过程。从前，人们习惯于根据“研究问题”来驱动“收集数据”。今后，大数据到处可得，人们将会用“数据”驱动“研究问题”而这种功能性的还变，促进了统计学应用范围的进一步扩大，例如传统的统计学往往被用来作为一个数学形式的参考信息，例如卫生统计、生产统计等等，但在大数据背景下，数据本身所含有的信息更加丰富化和多元化，基于海量用户下的网络数据所包含的信息极为广阔，而这些信息涉及到他们生活中的方方面面，这些信息一旦被深入挖掘出来，将会促进许多产业的快速发展。在大数据背景下，传统统计学的结构化数据局限会逐步接触，在非结构或者半结构的数据统计下，统计学将会应用到许多传统意义上无法数据化的行业领域中。

3结束语

数据是统计学科的核心，也是统计学科的主要价值体现。大数据时代改变了传统的数据的意义，数据所包含的信息、传播速度、分布速度也远远超出了我们的想象，数据核心意义的转变，迫使得以此为基础的统计学科必然会随之做出改变。机遇与挑战并存，在新的时期，统计学要想快速完成其学科的有效转换，就必须要进一步的深入研究大数据的时代特征，并有效地与传统统计学结合起来，以达成统计学科的进一步发展。

作者:郑雅倩 单位:海南师范大学数学与统计学院

参考文献：

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通过对高中数学和高等数学两者之间进行对比，大学概率与高中概率在教学内容上有许多重复之处，对于一些内容在高中教学中要求较低，比如对概率的概念以及频率与概率的区别等方面，高中数学教学中就没有严格的要求，也没有要求学生掌握比较严密的公理化定义.大学统计与高中数学教学内容的对比分析不难看出，两者在教学内容上有很多相似之处，大学数学统计教学内容反映到高中，更多的是偏向于计算技巧的训练，而大学教学在涉及统计教学内容时，比较要注重数学思想的挖掘及数学方法的应用.高中教材统计学的教学要求比较侧重于实际运用，对相关的理论的了解和掌握程度较低，因此，对大学生的统计部分的教学体系基本上没有影响，两者之间的衔接方面存在着一定的不足.

二、实现大学概率统计教学与高中数学教学内容衔接的方式

1.课程内容的衔接

大学数学概率统计教学内容是在高中知识基础上的提高和扩充，其显著特点是知识量增大、理论性增强、系统性增强、综合性增强.我们在高中初步、直观地学习了概率统计的基本知识，在大学我们将对有关知识进行理论化、系统化，合理地编制教材，并且进行一些研究性学习，以实现两者之间更好的衔接.

2.学习方法的衔接

由于高中的学习密度和作业量大，简单的死记硬背的方法和被动的学习态度都会使学习出现僵局，必须使学生意识到调整自己的学习方法的必要性与紧迫性.例如，让学生了解大学所学习的概率统计知识中随机现象及其统计规律性以及全概率公式与贝叶斯公式等，有助于学生对概率统计知识的更好理解，从而实现了大学概率统计知识与高中数学教学内容的衔接.比如高中在古典概型问题的讲解时比较细，题目难度也比较大，因此在大学时就不需要在古典概型上花太多的时间，以有效提高学习时间的利用率，从而使学习效率大大提高.如例题：储蓄卡的密码一般由6位数字组成，每个数字可以是0，1，2， …，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡的密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？在该例题的解析中，可以运用高中数学中所学的基本事件的特点以及结合高等数学中古典概型的有限性和等可能性的两个特征，随机试一个密码，相当于作一次随机试验.所有的六位密码（基本事件）共有1000000种.

3.教学方法的衔接高中与大学的数学教学方法均以讲解法为主，但高中教学要对概率统计知识进行详细的讲解，然后总结题型，归纳方法方式，提高教学知识的系统性与网络化.大一应承接高中教学对解题方法有总结归纳，增加练习课次数和题量训练量，先让学生掌握通性通法，使刚入学的学生度过适应期.例如在概率统计内容的概念学习中，可以对易混淆的概念（定理）对比学习；对公式、定理各字母的含义、适用范围、特例等作补充说明等来帮助学习，在老师的指导下使其成为学生自身的学习方法和习惯.例如在例题“在1000个有机会中奖的号码中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为××的号码为中奖号码，应该采取什么样的抽样方法”中，该种类型的例题就可以通过高中数学中系统抽样的方式和高等数学中间隔距离相等的抽取相结合，对例题进行解答.

4.增设数理统计试验

数学课是一门实践性较强的课程，在统计与概率教学内容中，存在许多随机试验，许多规律是从试验中总结出来的.因此，在大学概率统计和高中数学教学内容衔接改革过程中，应该充分利用Excel作为数据处理平台，让学生更好地进行数据的采集和处理，在计算标准差、相关系数、平方和分解等问题时能够收到事半功倍的效果，并且还有利于培养学生的研究、概括、总结能力，巩固和加深统计和概率的知识内容，有利于学习效率的提高，从而实现大学概率统计与高中数学教学内容更好的衔接.

5.高考命题与高等数学知识的衔接

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二、统计模型的建立与求解

上一例题中，试验结果可以用服从两点分布随机变量来表示，X=1取到白球0{取到红球，X～B(1，p)，p为白球的比例，p的可能取值为:{05，15，25，35，45，55}．而试验的结果是:白球、红球、白球的可能性为p(X1=1，X2=0，X3=1)=p2(1－p)，如果要使这一结果的出现可能性最大，即p2(1－p)要取值最大，则估计p^=35，即估计白球有3个。把这一模型用更抽象语言来描述就是X1，X2，…Xn为一个容量为n的简单随机样本，来自总体分布F(θ)，其中θ为未知参数，在θ的取值空间上找到一点^θ，使的样本取值发生的概率最大，则^θ为θ的极大似然估计值。其中样本取值的发生的概率，离散型的数据用样本的联合分布率来表示，连续型的数据用样本联合密度函数来表示，统称为似然函数。最后模型求解就转化为在θ的取值空间上求似然函数的极大值问题，常见的求函数极值方法有:如上一例题中的代入法;考虑函数单调性，导数为零的点有可能是极值点;函数定义域的边界点有可能是极值点，等等。

三、容易出现的理解误区

极大似然估计方法中，在求似然函数极大值时候，由于似然函数是边缘分布的连乘形式，因此在对似然函数直接求导讨论其单调性时，其求导结果较为复杂，不容易直接讨论。往往需要先对似然函数取对数，把连乘形式改成连加形式，然后再求导，求导结果相对简单，利于讨论单调性。这样做只是数学上的一个处理技巧，因为对数似然函数是一个复合函数，外层对数函数是单增函数，不改变里层似然函数的单调性。而同学们可能对这个数学处理技巧理解出现误区，把极大似然估计理解为一套算法，一组公式，死记硬背，时间长了就没有印象了。这样的学习效果对以后的进一步学习或应用此方法解决问题起不到良好的作用。相反的是，应让同学对极大似然估计的基本思想掌握牢固，并且极大似然估计的想法本身也很自然直接，而求似然函数的极值问题只不过是数学上的处理技巧，各种手段都可能用上，多加锻炼几次即可。如果同学对极大似然估计的想法理解透彻，不拘于具体数学解法，则有助于长时间和进一步地理解更为深刻的知识点，为将来学习和工作需要打下良好的基础。